Упр.356 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) Найдём первообразную для функции $$y=3\sin\left(x+\frac{3\pi}{4}\right).$$

$$F(x)=-3\cos\left(x+\frac{3\pi}{4}\right).$$

Тогда площадь равна

$$S=F\left(\frac{\pi}{4}\right)-F\left(-\frac{3\pi}{4}\right) =-3\cos\pi+3\cos 0=3+3=6.$$

б) Для функции $$y=2\cos 2x$$ первообразная:

$$F(x)=\sin 2x.$$

Тогда

$$S=F\left(\frac{\pi}{4}\right)-F\left(-\frac{\pi}{4}\right) =\sin\frac{\pi}{2}-\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)=1-(-1)=2.$$

в) Для функции $$y=\sin x-\frac12$$ первообразная:

$$F(x)=-\cos x-\frac{x}{2}.$$

Тогда

$$S=F\left(\frac{5\pi}{6}\right)-F\left(\frac{\pi}{6}\right) =-\cos\frac{5\pi}{6}-\frac{5\pi}{12}+\cos\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{12} =\sqrt{3}-\frac{\pi}{3}.$$

г) Для функции $$y=1-\cos x$$ первообразная:

$$F(x)=x-\sin x.$$

Тогда

$$S=F\left(\frac{\pi}{2}\right)-F\left(-\frac{\pi}{2}\right) =\left(\frac{\pi}{2}-\sin\frac{\pi}{2}\right)-\left(-\frac{\pi}{2}-\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)\right) =\pi-2.$$

Ответ: а) $$6$$; б) $$2$$; в) $$\sqrt{3}-\frac{\pi}{3}$$; г) $$\pi-2$$.