Упр.355 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Найдём площади фигур как определённые интегралы.

а)

$$S=\int_{-2}^{0}(x+2)^2\,dx.$$

Первообразная:

$$F(x)=\frac{(x+2)^3}{3}.$$

Тогда

$$S=F(0)-F(-2)=\frac{(0+2)^3}{3}-\frac{(-2+2)^3}{3}=\frac{8}{3}.$$

б)

$$S=\int_{0}^{2}\left(\frac{1}{(x+1)^2}+1\right)\,dx.$$

Первообразная:

$$F(x)=-\frac{1}{x+1}+x.$$

Тогда

$$S=F(2)-F(0)=\left(-\frac{1}{3}+2\right)-\left(-1+0\right)=\frac{8}{3}.$$

в)

Точки пересечения с осью $$Ox$$ найдём из уравнения

$$2x-x^2=0,$$

откуда

$$x=0 \text{ или } x=2.$$

Тогда

$$S=\int_{0}^{2}(2x-x^2)\,dx.$$

Первообразная:

$$F(x)=x^2-\frac{x^3}{3}.$$

Следовательно,

$$S=F(2)-F(0)=\left(4-\frac{8}{3}\right)-0=\frac{4}{3}.$$

г)

$$S=\int_{0}^{1}-(x-1)^3\,dx.$$

Первообразная:

$$F(x)=-\frac{(x-1)^4}{4}.$$

Тогда

$$S=F(1)-F(0)=0-\left(-\frac{1}{4}\right)=\frac{1}{4}.$$

Ответ

$$\text{а) } \frac{8}{3}, \quad \text{б) } \frac{8}{3}, \quad \text{в) } \frac{4}{3}, \quad \text{г) } \frac{1}{4}.$$