Упр.354 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Найдём площадь как определённый интеграл от верхней функции до оси $$Ox$$ на заданном промежутке.

а)

$$S=\int\limits_{0}^{2}(x^3+1)\,dx.$$

Первообразная:

$$F(x)=\frac{x^4}{4}+x.$$

Тогда

$$S=F(2)-F(0)=\left(\frac{2^4}{4}+2\right)-0=4+2=6.$$

б)

$$S=\int\limits_{0}^{\pi/2}(1+2\sin x)\,dx.$$

Первообразная:

$$F(x)=x-2\cos x.$$

Тогда

$$S=F\left(\frac{\pi}{2}\right)-F(0)=\left(\frac{\pi}{2}-2\cos\frac{\pi}{2}\right)-\left(0-2\cos 0\right)=\frac{\pi}{2}+2.$$

в)

Точки пересечения с осью $$Ox$$ найдём из уравнения

$$4-x^2=0,$$

откуда

$$x=\pm 2.$$

Площадь:

$$S=\int\limits_{-2}^{2}(4-x^2)\,dx.$$

Первообразная:

$$F(x)=4x-\frac{x^3}{3}.$$

Тогда

$$S=F(2)-F(-2)=\left(8-\frac{8}{3}\right)-\left(-8+\frac{8}{3}\right)=\frac{32}{3}.$$

г)

$$S=\int\limits_{-\pi/2}^{\pi/2}\left(1+\frac12\cos x\right)\,dx.$$

Первообразная:

$$F(x)=x+\frac12\sin x.$$

Тогда

$$S=F\left(\frac{\pi}{2}\right)-F\left(-\frac{\pi}{2}\right)=\left(\frac{\pi}{2}+\frac12\sin\frac{\pi}{2}\right)-\left(-\frac{\pi}{2}+\frac12\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)\right)=\pi+1.$$

Ответ

а) $$6$$; б) $$\frac{\pi}{2}+2$$; в) $$\frac{32}{3}$$; г) $$\pi+1$$.