Упр.352 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
а) Для функции $$f(x)=3x^2-2x+4$$ найдём первообразную:
$$F(x)=\int (3x^2-2x+4)\,dx=x^3-x^2+4x+C.$$
Так как график $$F_1$$ проходит через точку $$M(-1;1),$$ получаем:
$$1=(-1)^3-(-1)^2+4\cdot(-1)+C,$$
$$1=-1-1-4+C,$$
$$C=7.$$
Значит,
$$F_1(x)=x^3-x^2+4x+7.$$
Для точки $$N(0;3)$$ имеем:
$$3=0^3-0^2+4\cdot 0+C,$$
$$C=3.$$
Тогда
$$F_2(x)=x^3-x^2+4x+3.$$
Разность:
$$F_1(x)-F_2(x)=4.$$
Следовательно, график $$F_1$$ расположен выше графика $$F_2$$.
б) Для функции $$f(x)=4x-6x^2+1$$ найдём первообразную:
$$F(x)=\int (4x-6x^2+1)\,dx=2x^2-2x^3+x+C.$$
Так как $$F_1$$ проходит через точку $$M(0;2),$$ то
$$2=2\cdot 0^2-2\cdot 0^3+0+C,$$
$$C=2.$$
Значит,
$$F_1(x)=2x^2-2x^3+x+2.$$
Для точки $$N(1;3)$$ получаем:
$$3=2\cdot 1^2-2\cdot 1^3+1+C,$$
$$3=1+C,$$
$$C=2.$$
Тогда
$$F_2(x)=2x^2-2x^3+x+2.$$
Разность:
$$F_1(x)-F_2(x)=0.$$
Следовательно, графики $$F_1$$ и $$F_2$$ совпадают.
в) Для функции $$f(x)=4x-x^3$$ найдём первообразную:
$$F(x)=\int (4x-x^3)\,dx=2x^2-\frac{x^4}{4}+C.$$
Так как $$F_1$$ проходит через точку $$M(2;1),$$ то
$$1=2\cdot 2^2-\frac{2^4}{4}+C,$$
$$1=8-4+C,$$
$$C=-3.$$
Значит,
$$F_1(x)=2x^2-\frac{x^4}{4}-3.$$
Для точки $$N(-2;3)$$ имеем:
$$3=2\cdot (-2)^2-\frac{(-2)^4}{4}+C,$$
$$3=8-4+C,$$
$$C=-1.$$
Тогда
$$F_2(x)=2x^2-\frac{x^4}{4}-1.$$
Разность:
$$F_1(x)-F_2(x)=-2.$$
Следовательно, график $$F_1$$ расположен ниже графика $$F_2$$.
г) Для функции $$f(x)=(2x+1)^2$$ найдём первообразную:
$$F(x)=\int (2x+1)^2\,dx=\frac{(2x+1)^3}{6}+C.$$
Так как $$F_1$$ проходит через точку $$M(-3;-1),$$ то
$$-1=\frac{(2\cdot(-3)+1)^3}{6}+C,$$
$$-1=\frac{(-5)^3}{6}+C,$$
$$-1=-\frac{125}{6}+C,$$
$$C=\frac{119}{6}=19\frac{5}{6}.$$
Значит,
$$F_1(x)=\frac{(2x+1)^3}{6}+19\frac{5}{6}.$$
Для точки $$N\left(1;6\frac{1}{3}\right)$$ получаем:
$$6\frac{1}{3}=\frac{(2\cdot 1+1)^3}{6}+C,$$
$$\frac{19}{3}=\frac{27}{6}+C,$$
$$C=\frac{7}{6}=1\frac{1}{6}.$$
Тогда
$$F_2(x)=\frac{(2x+1)^3}{6}+1\frac{1}{6}.$$
Разность:
$$F_1(x)-F_2(x)=18.$$
Следовательно, график $$F_1$$ расположен выше графика $$F_2$$.
