Упр.351 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

10-11 kolmogor10-11 351 1023

а) По второму закону Ньютона

$$a(t)=\frac{F(t)}{m}=\frac{6-9t}{3}=2-3t.$$

Скорость — первообразная для ускорения:

$$v(t)=\int (2-3t)\,dt=2t-\frac{3}{2}t^2+c_1.$$

Из условия $$v(1)=4$$ получаем:

$$4=2\cdot 1-\frac{3}{2}\cdot 1^2+c_1,$$

$$c_1=\frac{7}{2}.$$

Значит,

$$v(t)=2t-\frac{3}{2}t^2+\frac{7}{2}.$$

Координата — первообразная для скорости:

$$x(t)=\int \left(2t-\frac{3}{2}t^2+\frac{7}{2}\right)dt=t^2-\frac{1}{2}t^3+\frac{7}{2}t+c_2.$$

Из условия $$x(1)=-5$$:

$$-5=1-\frac{1}{2}+\frac{7}{2}+c_2,$$

$$c_2=-9.$$

Следовательно,

$$x(t)=t^2-\frac{1}{2}t^3+\frac{7}{2}t-9.$$

б)

$$a(t)=\frac{14\sin t}{7}=2\sin t.$$

Тогда

$$v(t)=\int 2\sin t\,dt=-2\cos t+c_1.$$

Из условия $$v(\pi)=2$$:

$$2=-2\cos \pi+c_1=2+c_1,$$

$$c_1=0.$$

Значит,

$$v(t)=-2\cos t.$$

Теперь найдём координату:

$$x(t)=\int (-2\cos t)\,dt=-2\sin t+c_2.$$

Из условия $$x(\pi)=3$$:

$$3=-2\sin \pi+c_2,$$

$$c_2=3.$$

Следовательно,

$$x(t)=-2\sin t+3.$$

в)

$$a(t)=\frac{25\cos t}{5}=5\cos t.$$

Тогда

$$v(t)=\int 5\cos t\,dt=5\sin t+c_1.$$

Из условия $$v\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=2$$:

$$2=5\sin \frac{\pi}{2}+c_1=5+c_1,$$

$$c_1=-3.$$

Значит,

$$v(t)=5\sin t-3.$$

Теперь

$$x(t)=\int (5\sin t-3)\,dt=-5\cos t-3t+c_2.$$

Из условия $$x\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=4$$:

$$4=-5\cos \frac{\pi}{2}-3\cdot \frac{\pi}{2}+c_2,$$

$$c_2=4+\frac{3\pi}{2}.$$

Следовательно,

$$x(t)=-5\cos t-3t+4+\frac{3\pi}{2}.$$

г)

$$a(t)=\frac{8t+8}{4}=2t+2.$$

Тогда

$$v(t)=\int (2t+2)\,dt=t^2+2t+c_1.$$

Из условия $$v(2)=9$$:

$$9=2^2+2\cdot 2+c_1,$$

$$c_1=1.$$

Значит,

$$v(t)=t^2+2t+1=(t+1)^2.$$

Теперь

$$x(t)=\int (t+1)^2\,dt=\frac{(t+1)^3}{3}+c_2.$$

Из условия $$x(2)=7$$:

$$7=\frac{(2+1)^3}{3}+c_2=9+c_2,$$

$$c_2=-2.$$

Следовательно,

$$x(t)=\frac{(t+1)^3}{3}-2.$$

Ответ

а) $$x(t)=t^2-\frac{1}{2}t^3+\frac{7}{2}t-9$$;

б) $$x(t)=-2\sin t+3$$;

в) $$x(t)=-5\cos t-3t+4+\frac{3\pi}{2}$$;

г) $$x(t)=\frac{(t+1)^3}{3}-2$$.