Упр.347 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Найдём первообразную для каждой функции и используем условие, что график $$F$$ проходит через заданную точку.

1. $$f(x)=2x+1,\quad M(0;0).$$

   $$F(x)=\int (2x+1)\,dx=x^2+x+C.$$

   Так как $$F(0)=0$$, получаем:

   $$0=0^2+0+C,\quad C=0.$$

   Следовательно, $$F(x)=x^2+x.$$

2. $$f(x)=3x^2-2x,\quad M(1;4).$$

   $$F(x)=\int (3x^2-2x)\,dx=x^3-x^2+C.$$

   Так как $$F(1)=4$$, имеем:

   $$4=1^3-1^2+C,\quad 4=C.$$

   Следовательно, $$F(x)=x^3-x^2+4.$$

3. $$f(x)=x+2,\quad M(1;3).$$

   $$F(x)=\int (x+2)\,dx=\frac{x^2}{2}+2x+C.$$

   Так как $$F(1)=3$$, получаем:

   $$3=\frac{1^2}{2}+2\cdot 1+C,\quad C=\frac12.$$

   Следовательно, $$F(x)=\frac{x^2}{2}+2x+\frac12.$$

4. $$f(x)=-x^2+3x,\quad M(2;-1).$$

   $$F(x)=\int (-x^2+3x)\,dx=-\frac{x^3}{3}+\frac{3x^2}{2}+C.$$

   Так как $$F(2)=-1$$, имеем:

   $$-1=-\frac{2^3}{3}+\frac{3\cdot 2^2}{2}+C=-\frac83+6+C=\frac{10}{3}+C.$$

   Отсюда

   $$C=-1-\frac{10}{3}=-\frac{13}{3}.$$

   Следовательно, $$F(x)=-\frac{x^3}{3}+\frac{3x^2}{2}-\frac{13}{3}.$$

Ответ

а) $$F(x)=x^2+x$$;
б) $$F(x)=x^3-x^2+4$$;
в) $$F(x)=\frac{x^2}{2}+2x+\frac12$$;
г) $$F(x)=-\frac{x^3}{3}+\frac{3x^2}{2}-\frac{13}{3}$$.