Упр.345 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Найдём первообразную для каждой функции и затем подберём постоянную $$c$$ из условия прохождения графика через заданную точку.

1. $$f(x)=4x+\frac{1}{x^2}, \quad M(-1;4).$$

   $$F(x)=\int \left(4x+\frac{1}{x^2}\right)\,dx=2x^2-\frac{1}{x}+c.$$

   Подставим точку $$M(-1;4)$$:

   $$4=2\cdot(-1)^2-\frac{1}{-1}+c=2+1+c,$$

   $$c=1.$$

   Значит, $$F(x)=2x^2-\frac{1}{x}+1.$$

2. $$f(x)=x^3+2, \quad M(2;15).$$

   $$F(x)=\int (x^3+2)\,dx=\frac{x^4}{4}+2x+c.$$

   Подставим точку $$M(2;15)$$:

   $$15=\frac{2^4}{4}+2\cdot 2+c=4+4+c,$$

   $$c=7.$$

   Значит, $$F(x)=\frac{x^4}{4}+2x+7.$$

3. $$f(x)=1-2x, \quad M(3;2).$$

   $$F(x)=\int (1-2x)\,dx=x-x^2+c.$$

   Подставим точку $$M(3;2)$$:

   $$2=3-3^2+c=3-9+c,$$

   $$c=8.$$

   Значит, $$F(x)=x-x^2+8.$$

4. $$f(x)=\frac{1}{x^3}-10x^4+3, \quad M(1;5).$$

   $$F(x)=\int \left(x^{-3}-10x^4+3\right)\,dx=-\frac{1}{2x^2}-2x^5+3x+c.$$

   Подставим точку $$M(1;5)$$:

   $$5=-\frac{1}{2}-2\cdot 1^5+3\cdot 1+c=-\frac{1}{2}-2+3+c=\frac{1}{2}+c,$$

   $$c=\frac{9}{2}.$$

   Значит, $$F(x)=-\frac{1}{2x^2}-2x^5+3x+\frac{9}{2}.$$

Ответ:

а) $$F(x)=2x^2-\frac{1}{x}+1$$; б) $$F(x)=\frac{x^4}{4}+2x+7$$; в) $$F(x)=x-x^2+8$$; г) $$F(x)=-\frac{1}{2x^2}-2x^5+3x+\frac{9}{2}$$.