Упр.344 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
Найдём общий вид первообразных для каждой функции, используя таблицу первообразных и правило замены переменной.
$$f(x)=\frac{3}{(4-15x)^4}=3(4-15x)^{-4}.$$
Тогда
$$F(x)=3\cdot \frac{(4-15x)^{-3}}{-3}+c=-\frac{1}{(4-15x)^3}+c.$$
Проверка:
$$F'(x)=\frac{3}{(4-15x)^4}=f(x).$$
$$f(x)=\frac{2}{\cos^2\left(\frac{\pi}{3}-x\right)}=2\sec^2\left(\frac{\pi}{3}-x\right).$$
Так как
$$\left(\tan\left(\frac{\pi}{3}-x\right)\right)’=-\frac{1}{\cos^2\left(\frac{\pi}{3}-x\right)},$$
то
$$F(x)=-2\tan\left(\frac{\pi}{3}-x\right)+c.$$
Проверка:
$$F'(x)=\frac{2}{\cos^2\left(\frac{\pi}{3}-x\right)}=f(x).$$
$$f(x)=\frac{4}{(3x-1)^2}=4(3x-1)^{-2}.$$
Тогда
$$F(x)=4\cdot \frac{(3x-1)^{-1}}{-3}+c=-\frac{4}{3(3x-1)}+c.$$
Проверка:
$$F'(x)=\frac{4}{(3x-1)^2}=f(x).$$
$$f(x)=-\frac{2}{x^5}+\frac{1}{\cos^2(3x-1)}=-2x^{-5}+\frac{1}{\cos^2(3x-1)}.$$
Найдём первообразную по частям:
$$\int -2x^{-5}\,dx=\frac{1}{2x^4},$$
$$\int \frac{1}{\cos^2(3x-1)}\,dx=\frac{1}{3}\tan(3x-1).$$
Следовательно,
$$F(x)=\frac{1}{2x^4}+\frac{1}{3}\tan(3x-1)+c.$$
Проверка:
$$F'(x)=-\frac{2}{x^5}+\frac{1}{\cos^2(3x-1)}=f(x).$$
Ответ:
а) $$F(x)=-\frac{1}{(4-15x)^3}+c$$; б) $$F(x)=-2\tan\left(\frac{\pi}{3}-x\right)+c$$; в) $$F(x)=-\frac{4}{3(3x-1)}+c$$; г) $$F(x)=\frac{1}{2x^4}+\frac{1}{3}\tan(3x-1)+c$$.
