Упр.343 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Найдём общий вид первообразной для каждой функции.

1. $$f(x)=(2x-3)^5.$$

   Пусть $$u=2x-3,$$ тогда $$du=2\,dx,$$ и

   $$\int (2x-3)^5\,dx=\frac{(2x-3)^6}{12}+C.$$

2. $$f(x)=3\sin 2x.$$

   Тогда

   $$\int 3\sin 2x\,dx=-\frac{3}{2}\cos 2x+C.$$

3. $$f(x)=(4-5x)^7.$$

   Пусть $$u=4-5x,$$ тогда $$du=-5\,dx,$$ и

   $$\int (4-5x)^7\,dx=-\frac{(4-5x)^8}{40}+C.$$

4. $$f(x)=-\frac13\cos\left(\frac{x}{3}-\frac{\pi}{4}\right).$$

   Тогда

   $$\int -\frac13\cos\left(\frac{x}{3}-\frac{\pi}{4}\right)\,dx=-\sin\left(\frac{x}{3}-\frac{\pi}{4}\right)+C.$$

Ответ:

а) $$F(x)=\frac{(2x-3)^6}{12}+C$$; б) $$F(x)=-\frac{3}{2}\cos 2x+C$$; в) $$F(x)=-\frac{(4-5x)^8}{40}+C$$; г) $$F(x)=-\sin\left(\frac{x}{3}-\frac{\pi}{4}\right)+C$$.