Упр.34 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Четвертый член геометрической прогрессии больше второго на $$24$$, а сумма второго и третьего равна $$6$$. Найдите первый член и знаменатель прогрессии.

Пусть $$b_1$$ — первый член геометрической прогрессии, $$q$$ — её знаменатель. Тогда

$$b_2=b_1q,\quad b_3=b_1q^2,\quad b_4=b_1q^3.$$

По условию:

$$b_4=b_2+24,\qquad b_2+b_3=6.$$

Подставим выражения через $$b_1$$ и $$q$$:

$$b_1q^3=b_1q+24,$$

$$b_1q+b_1q^2=6.$$

Из первого уравнения:

$$b_1q(q^2-1)=24,$$

$$b_1q(q-1)(q+1)=24.$$

Из второго уравнения:

$$b_1q(1+q)=6.$$

Разделим первое уравнение на второе:

$$\frac{b_1q(q-1)(q+1)}{b_1q(1+q)}=\frac{24}{6},$$

$$q-1=4,$$

$$q=5.$$

Теперь найдём $$b_1$$ из уравнения $$b_1q(1+q)=6$$:

$$b_1\cdot 5\cdot 6=6,$$

$$30b_1=6,$$

$$b_1=0{,}2.$$

Ответ: $$b_1=0{,}2,\ q=5.$$