Упр.339 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Найдём первообразные и подберём постоянную $$c$$ из условия прохождения графика через точку $$M$$.

1. $$f(x)=2\cos x,\quad M\left(-\frac{\pi}{2};\,1\right).$$

   Первообразная:

   $$F(x)=2\sin x+c.$$

   Подставим точку $$M$$:

   $$1=2\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)+c=-2+c,$$

   откуда $$c=3$$. Тогда

   $$F(x)=2\sin x+3.$$

2. $$f(x)=1-x^2,\quad M(-3;\,9).$$

   Первообразная:

   $$F(x)=x-\frac{x^3}{3}+c.$$

   Подставим точку $$M$$:

   $$9=-3-\frac{(-3)^3}{3}+c=-3+9+c=6+c,$$

   откуда $$c=3$$. Тогда

   $$F(x)=x-\frac{x^3}{3}+3.$$

3. $$f(x)=\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right),\quad M\left(\frac{2\pi}{3};\,-1\right).$$

   Первообразная:

   $$F(x)=-\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)+c.$$

   Подставим точку $$M$$:

   $$-1=-\cos\left(\frac{2\pi}{3}+\frac{\pi}{3}\right)+c=-\cos\pi+c=1+c,$$

   откуда $$c=-2$$. Тогда

   $$F(x)=-\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)-2.$$

4. $$f(x)=\frac{1}{x^4},\quad M\left(\frac12;\,3\right).$$

   Имеем $$f(x)=x^{-4}$$, поэтому

   $$F(x)=-\frac{x^{-3}}{3}+c=-\frac{1}{3x^3}+c.$$

   Подставим точку $$M$$:

   $$3=-\frac{1}{3\left(\frac12\right)^3}+c=-\frac{1}{3\cdot\frac18}+c=-\frac{8}{3}+c,$$

   откуда $$c=\frac{17}{3}.$$ Тогда

   $$F(x)=-\frac{1}{3x^3}+\frac{17}{3}.$$

Ответ

а) $$F(x)=2\sin x+3$$;
б) $$F(x)=x-\frac{x^3}{3}+3$$;
в) $$F(x)=-\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)-2$$;
г) $$F(x)=-\frac{1}{3x^3}+\frac{17}{3}$$.