Упр.338 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Проверим, что в каждом пункте производная функции $$F(x)$$ совпадает с $$f(x)$$.

1. $$F(x)=\sin x-x\cos x,\qquad f(x)=x\sin x.$$

   $$F'(x)=(\sin x-x\cos x)’=\cos x-(x\cos x)’=\cos x-(\cos x-x\sin x)=x\sin x.$$

   Значит, $$F(x)$$ — первообразная для $$f(x)$$. Тогда общий вид первообразных:

   $$\sin x-x\cos x+C.$$

2. $$F(x)=\sqrt{x^2+1},\qquad f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}.$$

   $$F(x)=(x^2+1)^{\frac12},$$
   $$F'(x)=\frac12(x^2+1)^{-\frac12}\cdot 2x=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}.$$

   Следовательно, $$F(x)$$ — первообразная для $$f(x)$$. Общий вид первообразных:

   $$\sqrt{x^2+1}+C.$$

3. $$F(x)=\cos x+x\sin x,\qquad f(x)=x\cos x.$$

   $$F'(x)=(\cos x+x\sin x)’=-\sin x+(\,x\sin x\,)’=-\sin x+\sin x+x\cos x=x\cos x.$$

   Значит, $$F(x)$$ — первообразная для $$f(x)$$. Тогда

   $$\cos x+x\sin x+C.$$

4. $$F(x)=x-\frac1x,\qquad f(x)=\frac{1+x^2}{x^2}.$$

   $$F'(x)=\left(x-\frac1x\right)’=1-\left(x^{-1}\right)’=1-(-x^{-2})=1+\frac1{x^2}=\frac{1+x^2}{x^2}.$$

   Следовательно, $$F(x)$$ — первообразная для $$f(x)$$. Общий вид первообразных:

   $$x-\frac1x+C.$$

Ответ:

а) $$\sin x-x\cos x+C$$;
б) $$\sqrt{x^2+1}+C$$;
в) $$\cos x+x\sin x+C$$;
г) $$x-\frac1x+C$$.