Упр.337 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Найдём первообразные по формуле $$F(x)=\int f(x)\,dx+C$$ и используем заданное значение для нахождения константы $$C$$.

Ход решения

1. $$f(x)=\frac{1}{x^2}=x^{-2}$$

   Тогда

   $$F(x)=\int x^{-2}\,dx=-x^{-1}+C=-\frac{1}{x}+C.$$

   Из условия $$F\!\left(\frac12\right)=-12$$:

   $$-\frac{1}{1/2}+C=-12$$

   $$-2+C=-12$$

   $$C=-10.$$

   Следовательно,

   $$F(x)=-\frac{1}{x}-10.$$

2. $$f(x)=\frac{1}{\cos^2 x}$$

   Тогда

   $$F(x)=\int \frac{1}{\cos^2 x}\,dx=\tg x+C.$$

   Из условия $$F\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=0$$:

   $$\tg\frac{\pi}{4}+C=0$$

   $$1+C=0$$

   $$C=-1.$$

   Следовательно,

   $$F(x)=\tg x-1.$$

3. $$f(x)=x^3$$

   Тогда

   $$F(x)=\int x^3\,dx=\frac{x^4}{4}+C.$$

   Из условия $$F(-1)=2$$:

   $$\frac{(-1)^4}{4}+C=2$$

   $$\frac14+C=2$$

   $$C=\frac74.$$

   Следовательно,

   $$F(x)=\frac{x^4}{4}+\frac74.$$

4. $$f(x)=\sin x$$

   Тогда

   $$F(x)=\int \sin x\,dx=-\cos x+C.$$

   Из условия $$F(-\pi)=-1$$:

   $$-\cos(-\pi)+C=-1$$

   $$-(-1)+C=-1$$

   $$1+C=-1$$

   $$C=-2.$$

   Следовательно,

   $$F(x)=-\cos x-2.$$

Ответ

а) $$F(x)=-\frac{1}{x}-10$$;
б) $$F(x)=\tg x-1$$;
в) $$F(x)=\frac{x^4}{4}+\frac74$$;
г) $$F(x)=-\cos x-2$$.