Упр.332 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
Проверим для каждой функции одну из первообразных, найдя её производную.
$$f(x)=x+2.$$
Возьмём $$F(x)=\frac{x^2}{2}+2x+8.$$ Тогда
$$F'(x)=\left(\frac{x^2}{2}+2x+8\right)’=x+2=f(x).$$
Значит, $$F(x)$$ — первообразная для $$f(x)$$ на $$\mathbb{R}$$.
$$f(x)=\left(\sin\frac{x}{2}-\cos\frac{x}{2}\right)^2.$$
Преобразуем:
$$f(x)=\sin^2\frac{x}{2}-2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}+\cos^2\frac{x}{2}=1-\sin x.$$
Возьмём $$F(x)=x+\cos x+5.$$ Тогда
$$F'(x)=(x+\cos x+5)’=1-\sin x=f(x).$$
Следовательно, $$F(x)$$ — первообразная для $$f(x)$$ на $$\mathbb{R}$$.
$$f(x)=\sin^2 x+\cos^2 x.$$
Так как $$\sin^2 x+\cos^2 x=1,$$ то
$$f(x)=1.$$
Возьмём $$F(x)=x+11.$$ Тогда
$$F'(x)=(x+11)’=1=f(x).$$
Значит, $$F(x)$$ — первообразная для $$f(x)$$ на $$\mathbb{R}$$.
$$f(x)=3x^2+1.$$
Возьмём $$F(x)=\frac{3x^3}{3}+x+3=x^3+x+3.$$ Тогда
$$F'(x)=(x^3+x+3)’=3x^2+1=f(x).$$
Следовательно, $$F(x)$$ — первообразная для $$f(x)$$ на $$\mathbb{R}$$.
Ответ: а) $$\frac{x^2}{2}+2x+8$$; б) $$x+\cos x+5$$; в) $$x+11$$; г) $$x^3+x+3$$.
