Упр.331 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Проверим, является ли $$F(x)$$ первообразной для $$f(x)$$, то есть выполняется ли равенство $$F'(x)=f(x)$$ на указанном промежутке.

1. $$F(x)=2x+\cos \frac{x}{2}, \quad f(x)=2-\frac12 \sin \frac{x}{2}, \quad x\in \mathbb{R}.$$

   Найдём производную:

   $$F'(x)=2-\frac12 \sin \frac{x}{2}.$$

   Получаем $$F'(x)=f(x)$$, значит, $$F(x)$$ является первообразной для $$f(x)$$.

2. $$F(x)=\sqrt{4-x^2}, \quad f(x)=-\frac{x}{\sqrt{4-x^2}}, \quad x\in (-2;2).$$

   Найдём производную:

   $$F'(x)=\left(4-x^2\right)^{\frac12}{}’=\frac12(4-x^2)^{-\frac12}\cdot(-2x)=-\frac{x}{\sqrt{4-x^2}}.$$

   Следовательно, $$F'(x)=f(x)$$, значит, $$F(x)$$ является первообразной для $$f(x)$$.

3. $$F(x)=\frac{1}{x^2}, \quad f(x)=14-\frac{1}{x^2}, \quad x\in (0;+\infty).$$

   Найдём производную:

   $$F'(x)=\left(x^{-2}\right)’=-2x^{-3}=-\frac{2}{x^3}.$$

   Так как $$F'(x)\ne f(x)$$, функция $$F(x)$$ не является первообразной для $$f(x)$$.

4. $$F(x)=4x\sqrt{x}, \quad f(x)=6\sqrt{x}, \quad x\in (0;+\infty).$$

   Найдём производную:

   $$F(x)=4x\sqrt{x}=4x^{\frac32},$$

   $$F'(x)=4\left(x^{\frac32}\right)’=4\cdot \frac32 x^{\frac12}=6\sqrt{x}.$$

   Получаем $$F'(x)=f(x)$$, значит, $$F(x)$$ является первообразной для $$f(x)$$.

Ответ

а) да; б) да; в) нет; г) да.