Упр.330 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

$$F(x)=\sin^2 x,\qquad f(x)=\sin 2x,\qquad x\in \mathbb{R}.$$

Найдём производную:

$$F'(x)=(\sin^2 x)’=2\sin x\cdot(\sin x)’=2\sin x\cos x=\sin 2x.$$

Получаем $$F'(x)=f(x).$$ Значит, $$F(x)$$ — первообразная для $$f(x)$$ на $$\mathbb{R}.$$

$$F(x)=\frac12\cos 2x,\qquad f(x)=-\sin 2x,\qquad x\in \mathbb{R}.$$

Найдём производную:

$$F'(x)=\left(\frac12\cos 2x\right)’=\frac12\cdot(-\sin 2x)\cdot 2=-\sin 2x.$$

Получаем $$F'(x)=f(x).$$ Значит, $$F(x)$$ — первообразная для $$f(x)$$ на $$\mathbb{R}.$$

$$F(x)=\sin 3x,\qquad f(x)=3\cos 3x,\qquad x\in \mathbb{R}.$$

Найдём производную:

$$F'(x)=(\sin 3x)’=3\cos 3x.$$

Получаем $$F'(x)=f(x).$$ Значит, $$F(x)$$ — первообразная для $$f(x)$$ на $$\mathbb{R}.$$

$$F(x)=3+\tg\frac{x}{2},\qquad f(x)=\frac{1}{2\cos^2\frac{x}{2}},\qquad x\in(-\pi;\pi).$$

Найдём производную:

$$F'(x)=\left(3+\tg\frac{x}{2}\right)’=\left(\tg\frac{x}{2}\right)’=\frac{1}{\cos^2\frac{x}{2}}\cdot\frac12=\frac{1}{2\cos^2\frac{x}{2}}.$$

Получаем $$F'(x)=f(x).$$ Значит, $$F(x)$$ — первообразная для $$f(x)$$ на $$(-\pi;\pi).$$