Упр.33 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Докажите, что числа $$\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}$$, $$\frac{1}{2-\sqrt{2}}$$ и $$\frac{1}{2}$$ образуют геометрическую прогрессию.

Пусть

$$b_1=\frac{\sqrt2+1}{\sqrt2-1},\qquad b_2=\frac1{2-\sqrt2},\qquad b_3=\frac12.$$

Преобразуем первые два числа:

$$b_1=\frac{(\sqrt2+1)^2}{(\sqrt2-1)(\sqrt2+1)}=\frac{(\sqrt2+1)^2}{2-1}=3+2\sqrt2,$$

$$b_2=\frac1{2-\sqrt2}\cdot\frac{2+\sqrt2}{2+\sqrt2}=\frac{2+\sqrt2}{4-2}=\frac{2+\sqrt2}{2}.$$

Тогда

$$b_2^2=\left(\frac{2+\sqrt2}{2}\right)^2=\frac{4+4\sqrt2+2}{4}=\frac{3+2\sqrt2}{2}.$$

С другой стороны,

$$b_1b_3=\left(3+2\sqrt2\right)\cdot\frac12=\frac{3+2\sqrt2}{2}.$$

Следовательно,

$$b_2^2=b_1b_3,$$

а значит, средний член равен геометрическому среднему соседних. Поэтому числа $$\frac{\sqrt2+1}{\sqrt2-1},\ \frac1{2-\sqrt2},\ \frac12$$ образуют геометрическую прогрессию.

Ответ: да, образуют геометрическую прогрессию.