Упр.33 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Докажите равенство:
   а) $$\arcsin x+\arccos x=\frac{\pi}{2}$$ для любого $$x\in[-1;1]$$;
   б) $$\arctg x+\arcctg x=\frac{\pi}{2}$$;
   в) $$\cos(\arctg x)=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$$;
   г) $$\tg(\arccos x)=\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}$$ для любого $$x\in[-1;1]$$ и $$x\ne0$$.

Пусть в каждом пункте соответствующий угол обозначен через $$\alpha$$.

Ход решения

а) Если $$\alpha=\arcsin x,$$ то $$\sin \alpha=x,$$ где $$x\in[-1;1].$$

Тогда $$\frac{\pi}{2}-\alpha\in\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]$$ и

$$\sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\cos\alpha=x.$$

Значит, $$\frac{\pi}{2}-\alpha=\arccos x,$$ откуда

$$\arcsin x+\arccos x=\frac{\pi}{2}.$$

б) Если $$\alpha=\operatorname{arcctg} x,$$ то $$\operatorname{ctg}\alpha=x,$$ где $$x\in\mathbb{R},\ 0<\alpha<\pi.$$

Тогда $$\frac{\pi}{2}-\alpha\in\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right)$$ и

$$\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\operatorname{ctg}\alpha=x.$$

Следовательно, $$\frac{\pi}{2}-\alpha=\operatorname{arctg}x,$$ значит

$$\operatorname{arctg}x+\operatorname{arcctg}x=\frac{\pi}{2}.$$

в) Пусть $$\alpha=\operatorname{arctg}x.$$ Тогда $$\operatorname{tg}\alpha=x.$$

Используем формулу

$$\cos\alpha=\frac{1}{\sqrt{1+\operatorname{tg}^2\alpha}}.$$

Подставляя $$\operatorname{tg}\alpha=x,$$ получаем

$$\cos(\operatorname{arctg}x)=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}.$$

г) Пусть $$\alpha=\arccos x,$$ тогда $$\cos\alpha=x,$$ где $$x\in[-1;1],\ x\ne 0.$$

Так как $$0\le \alpha\le \pi,$$ то $$\sin\alpha\ge 0,$$ и

$$\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{\sqrt{1-\cos^2\alpha}}{\cos\alpha}.$$

Подставляя $$\cos\alpha=x,$$ получаем

$$\operatorname{tg}(\arccos x)=\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}.$$

Ответ

$$\arcsin x+\arccos x=\frac{\pi}{2},\qquad \operatorname{arctg}x+\operatorname{arcctg}x=\frac{\pi}{2},$$

$$\cos(\operatorname{arctg}x)=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}},\qquad \operatorname{tg}(\arccos x)=\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}.$$