Упр.325 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Подробный ответ

Пусть в окружность радиуса $$R$$ вписан равнобедренный треугольник $$ABC$$, где $$AB=BC$$. Обозначим $$\angle A=\angle C=\alpha$$. Тогда

$$\angle B=180^\circ-2\alpha.$$

По теореме синусов:

$$\frac{AB}{\sin C}=2R,$$

откуда

$$AB=2R\sin\alpha.$$

Так как $$BC=AB$$, то площадь треугольника равна

$$S=\frac12\cdot AB\cdot BC\cdot \sin B=\frac12\cdot (2R\sin\alpha)^2\sin(180^\circ-2\alpha).$$

Следовательно,

$$S=2R^2\sin^2\alpha\sin 2\alpha.$$

Найдём максимум функции $$S(\alpha)$$:

$$S'(\alpha)=2R^2\left(2\sin\alpha\cos\alpha\sin 2\alpha+\sin^2\alpha\cdot 2\cos 2\alpha\right).$$

После преобразования получаем

$$S'(\alpha)=2R^2\left(\sin^2 2\alpha+2\sin^2\alpha\cos 2\alpha\right).$$

Приравняем производную к нулю:

$$\sin^2 2\alpha+2\sin^2\alpha\cos 2\alpha=0.$$

Так как $$\sin^2\alpha=\frac{1-\cos 2\alpha}{2},$$ то

$$\sin^2 2\alpha+(1-\cos 2\alpha)\cos 2\alpha=0,$$

$$1-\cos^2 2\alpha+\cos 2\alpha-\cos^2 2\alpha=0,$$

$$2\cos^2 2\alpha-\cos 2\alpha-1=0.$$

Положим $$t=\cos 2\alpha$$. Тогда

$$2t^2-t-1=0,$$

$$t_1=1,\quad t_2=-\frac12.$$

Значение $$t=1$$ не подходит, так как тогда $$\alpha=0^\circ$$. Значит,

$$\cos 2\alpha=-\frac12,$$

откуда

$$2\alpha=120^\circ,\quad \alpha=60^\circ.$$

Следовательно, $$\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ$$, то есть треугольник равносторонний. Именно он имеет наибольшую площадь среди всех треугольников, вписанных в данный круг.