Упр.324 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Пусть сторона прямоугольника равна $$x$$, где $$0<x<2r$$. Тогда по теореме Пифагора для диагонали прямоугольника, равной диаметру окружности, имеем

$$x^2+CD^2=(2r)^2,$$

откуда

$$CD=\sqrt{4r^2-x^2}.$$

Площадь прямоугольника как функция от $$x$$ равна

$$S(x)=x\sqrt{4r^2-x^2}.$$

Найдём производную:

$$S'(x)=\sqrt{4r^2-x^2}+x\cdot\frac{-2x}{2\sqrt{4r^2-x^2}} =\frac{4r^2-2x^2}{\sqrt{4r^2-x^2}} =\frac{2(\sqrt{2}r-x)(\sqrt{2}r+x)}{\sqrt{4r^2-x^2}}.$$

Приравниваем производную к нулю:

$$2(\sqrt{2}r-x)(\sqrt{2}r+x)=0.$$

Так как $$x>0$$, получаем критическую точку

$$x=\sqrt{2}r.$$

Это точка максимума, и

$$S_{\max}=S(\sqrt{2}r)=\sqrt{2}r\cdot\sqrt{4r^2-2r^2}=2r^2.$$

При этом вторая сторона прямоугольника равна

$$\sqrt{4r^2-(\sqrt{2}r)^2}=\sqrt{2}r,$$

значит, прямоугольник с наибольшей площадью — квадрат.

Ответ

Прямоугольник наибольшей площади — квадрат со стороной $$\sqrt{2}r$$, его площадь равна $$2r^2$$.