Упр.323 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Пусть гипотенуза прямоугольного треугольника равна $$c,$$ а один из катетов — $$x.$$ Тогда второй катет равен $$\sqrt{c^2-x^2},$$ и площадь треугольника

$$S(x)=\frac12 x\sqrt{c^2-x^2}, \qquad x\in(0;c).$$

Найдём производную:

$$S'(x)=\frac12\sqrt{c^2-x^2}-\frac{x^2}{2\sqrt{c^2-x^2}} =\frac{c^2-2x^2}{2\sqrt{c^2-x^2}} =\frac{(c-\sqrt2\,x)(c+\sqrt2\,x)}{2\sqrt{c^2-x^2}}.$$

Приравняем производную к нулю:

$$\frac{(c-\sqrt2\,x)(c+\sqrt2\,x)}{2\sqrt{c^2-x^2}}=0.$$

Так как $$x>0,$$ то получаем

$$x=\frac{c}{\sqrt2}.$$

Тогда второй катет равен

$$\sqrt{c^2-\left(\frac{c}{\sqrt2}\right)^2} =\sqrt{\frac{c^2}{2}} =\frac{c}{\sqrt2}.$$

Следовательно, оба катета равны, значит, треугольник равнобедренный. Именно он имеет наибольшую площадь при данной гипотенузе.

Ответ: наибольшую площадь имеет равнобедренный прямоугольный треугольник.