Упр.321 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Подробный ответ

Пусть пассажир высаживается на берег в точке $$O$$, причём $$AO=x \text{ км}, \quad 0 \le x \le 5.$$

Тогда расстояние от лодки до точки высадки по воде равно

$$PO=\sqrt{PA^2+AO^2}=\sqrt{3^2+x^2}=\sqrt{9+x^2},$$

а путь по берегу до села $$B$$ равен

$$OB=AB-AO=5-x.$$

Время движения пассажира:

$$t(x)=\frac{\sqrt{9+x^2}}{4}+\frac{5-x}{5}.$$

Найдём производную:

$$t'(x)=\frac{x}{4\sqrt{9+x^2}}-\frac15.$$

Приравняем её к нулю:

$$\frac{x}{4\sqrt{9+x^2}}-\frac15=0,$$

$$\frac{x}{\sqrt{9+x^2}}=\frac45,$$

$$25x^2=16(9+x^2),$$

$$9x^2=144,$$

$$x^2=16,\quad x=4.$$

Проверим значения времени на концах отрезка и в критической точке:

$$t(0)=\frac{\sqrt9}{4}+\frac55=\frac34+1=\frac74,$$

$$t(4)=\frac{\sqrt{25}}{4}+\frac15=\frac54+\frac15=\frac{29}{20},$$

$$t(5)=\frac{\sqrt{34}}{4}.$$

Наименьшее время получается при $$x=4.$$ Значит, лодка должна пристать к берегу в точке, находящейся на расстоянии $$4$$ км от ближайшей к лодке точки $$A$$ в сторону села $$B$$.