Упр.320 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Пусть $$BD=x$$ км, где $$0\le x\le 15$$.

Тогда расстояние от буровой до точки въезда на шоссе:

$$AD=\sqrt{AB^2+BD^2}=\sqrt{9^2+x^2}=\sqrt{81+x^2}.$$

Расстояние по шоссе до пункта назначения:

$$DC=15-x.$$

Время движения курьера:

$$t(x)=\frac{\sqrt{81+x^2}}{8}+\frac{15-x}{10}.$$

Найдём производную:

$$t'(x)=\frac{1}{8}\cdot\frac{x}{\sqrt{81+x^2}}-\frac{1}{10}.$$

Приравняем её к нулю:

$$\frac{x}{8\sqrt{81+x^2}}-\frac{1}{10}=0$$

$$\frac{x}{\sqrt{81+x^2}}=\frac{4}{5}.$$

Возведём в квадрат:

$$\frac{x^2}{81+x^2}=\frac{16}{25}.$$

$$25x^2=16(81+x^2)$$

$$25x^2=1296+16x^2$$

$$9x^2=1296$$

$$x^2=144,\qquad x=12.$$

Так как $$0\le x\le 15$$, получаем подходящее значение $$x=12$$. Значит, курьеру нужно ехать к точке шоссе, находящейся в $$12$$ км от ближайшей к буровой точки шоссе.

Ответ

$$12\text{ км}$$.