Упр.32 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Упростите выражение $$\left(a-c\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(b-d\right)^2-\left(a-d\right)^2$$, если известно, что числа $$a$$, $$b$$, $$c$$, $$d$$, взятые в указанном порядке, составляют геометрическую прогрессию.

Так как числа $$a,\ b,\ c,\ d$$ образуют геометрическую прогрессию, то можно положить

$$b=aq,\quad c=aq^2,\quad d=aq^3.$$

Тогда

$$\begin{aligned} S&=(a-c)^2+(b-c)^2+(b-d)^2-(a-d)^2\\ &=(a-aq^2)^2+(aq-aq^2)^2+(aq-aq^3)^2-(a-aq^3)^2\\ &=a^2(1-q^2)^2+a^2q^2(1-q)^2+a^2q^2(1-q^2)^2-a^2(1-q^3)^2. \end{aligned}$$

Вынесем $$a^2$$ и упростим:

$$\begin{aligned} S&=a^2\Bigl[(1-q^2)^2+q^2(1-q)^2+q^2(1-q^2)^2-(1-q^3)^2\Bigr]\\ &=a^2q^2(q-1)\Bigl(2-q^2-q^3-2-2q-q^2+2q+2q^2+q^3\Bigr)\\ &=a^2q^2(q-1)\cdot 0=0. \end{aligned}$$

Ответ

$$0$$