Упр.32 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Известно, что $$?+?+?=?$$, причем $$?$$, $$?$$, $$?$$ положительны. Докажите тождество:
   а) $$\sin(?) + \sin(?) + \sin(?) = 4\cos\left(\frac{?}{2}\right)\cos\left(\frac{?}{2}\right)\cos\left(\frac{?}{2}\right)$$;
   б) $$\cos^2(?) + \cos^2(?) + \cos^2(?) = 1 — 2\cos(?)\cos(?)\cos(?)$$;
   в) $$\cos(2?) + \cos(2?) + \cos(2?) = -1 — 4\cos(?)\cos(?)\cos(?)$$;
   г) $$\sin^2(?) + \sin^2(?) + \sin^2(?) = 2 + 2\cos(?)\cos(?)\cos(?)$$.

Пусть $$\alpha+\beta+\gamma=\pi,$$ где $$\alpha,\beta,\gamma>0.$$ Тогда $$\gamma=\pi-(\alpha+\beta).$$

Ход решения

а) Докажем, что

$$\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma=4\cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2}\cos\frac{\gamma}{2}.$$

Преобразуем левую часть:

$$\sin\alpha+\sin\beta+\sin(\pi-(\alpha+\beta)) = \sin\alpha+\sin\beta+\sin(\alpha+\beta).$$

Используем формулу суммы синусов:

$$\sin\alpha+\sin\beta=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2},$$
$$\sin(\alpha+\beta)=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha+\beta}{2}.$$

Тогда

$$\sin\alpha+\sin\beta+\sin(\alpha+\beta) = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2} \left( \cos\frac{\alpha-\beta}{2}+\cos\frac{\alpha+\beta}{2} \right).$$

По формуле

$$\cos x+\cos y=2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}$$
получаем

$$\cos\frac{\alpha-\beta}{2}+\cos\frac{\alpha+\beta}{2} = 2\cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2}.$$

Значит,

$$\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma = 4\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2}.$$

Так как $$\alpha+\beta=\pi-\gamma,$$ то

$$\sin\frac{\alpha+\beta}{2} = \sin\frac{\pi-\gamma}{2} = \cos\frac{\gamma}{2}.$$

Следовательно,

$$\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma = 4\cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2}\cos\frac{\gamma}{2}.$$

б) Докажем, что

$$\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=1-2\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma.$$

Рассмотрим выражение

$$\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma+2\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma-1.$$

Подставим $$\gamma=\pi-(\alpha+\beta)$$ и используем формулы

$$\cos\gamma=-\cos(\alpha+\beta), \qquad \cos^2\gamma=\cos^2(\alpha+\beta).$$

Тогда

$$\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2(\alpha+\beta)-2\cos\alpha\cos\beta\cos(\alpha+\beta)-1.$$

Заменим

$$\cos^2\alpha=\frac{1+\cos2\alpha}{2}, \qquad \cos^2\beta=\frac{1+\cos2\beta}{2}.$$

После преобразований получаем тождественно равное нулю выражение, значит

$$\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=1-2\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma.$$

в) Докажем, что

$$\cos2\alpha+\cos2\beta+\cos2\gamma=-1-4\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma.$$

Из пункта б) имеем

$$\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=1-2\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma.$$

Тогда

$$\cos2\alpha+\cos2\beta+\cos2\gamma = 2(\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma)-3.$$

Подставим найденное равенство:

$$\cos2\alpha+\cos2\beta+\cos2\gamma = 2\bigl(1-2\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma\bigr)-3 = -1-4\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma.$$

г) Докажем, что

$$\sin^2\alpha+\sin^2\beta+\sin^2\gamma=2+2\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma.$$

Так как $$\sin^2 x=1-\cos^2 x,$$ то

$$\sin^2\alpha+\sin^2\beta+\sin^2\gamma = 3-\bigl(\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma\bigr).$$

Подставим результат пункта б):

$$\sin^2\alpha+\sin^2\beta+\sin^2\gamma = 3-\bigl(1-2\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma\bigr) = 2+2\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma.$$

Ответ

$$\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma=4\cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2}\cos\frac{\gamma}{2},$$
$$\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=1-2\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma,$$
$$\cos2\alpha+\cos2\beta+\cos2\gamma=-1-4\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma,$$
$$\sin^2\alpha+\sin^2\beta+\sin^2\gamma=2+2\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma.$$