Упр.319 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Пусть сторона прямоугольного сечения равна $$x$$ см. Тогда в круг радиуса $$r$$ вписан прямоугольник со сторонами $$x$$ и $$CD$$, причём

$$x^2+CD^2=(2r)^2,$$

откуда

$$CD=\sqrt{4r^2-x^2}.$$

Площадь сечения равна

$$S(x)=x\sqrt{4r^2-x^2}, \qquad 0<x<2r.$$

Найдём производную:

$$S'(x)=\sqrt{4r^2-x^2}-\frac{x^2}{\sqrt{4r^2-x^2}} =\frac{4r^2-2x^2}{\sqrt{4r^2-x^2}}.$$

Приравниваем производную к нулю:

$$4r^2-2x^2=0,$$

$$x^2=2r^2,$$

$$x=r\sqrt{2}.$$

Тогда

$$CD=\sqrt{4r^2-2r^2}=r\sqrt{2}.$$

Значит, наибольшая площадь получается у квадрата, а его сторона равна $$r\sqrt{2}.$$ При $$r=20$$ см получаем

$$x=20\sqrt{2}\text{ см}.$$

Ответ: $$20\sqrt{2}\times 20\sqrt{2}\text{ см}.$$