Упр.318 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Пусть стороны прямоугольника равны $$LM=x$$ и $$LK=y.$$

Проведём высоту $$BD$$ равнобедренного треугольника $$ABC.$$ Тогда $$DC=30$$, поэтому

$$BD=\sqrt{BC^2-DC^2}=\sqrt{50^2-30^2}=40.$$

Треугольники $$BLM$$ и $$ABC$$ подобны, значит

$$\frac{LM}{AC}=\frac{BE}{BD}.$$

Так как $$BE=BD-ED=40-y,$$ получаем

$$\frac{x}{60}=\frac{40-y}{40}.$$

Отсюда

$$40x=60(40-y),$$

$$40x=2400-60y,$$

$$y=40-\frac{2x}{3}=\frac{120-2x}{3}.$$

Площадь прямоугольника:

$$S(x)=xy=x\left(40-\frac{2x}{3}\right)=40x-\frac{2x^2}{3}.$$

Найдём производную:

$$S'(x)=40-\frac{4x}{3}.$$

Приравниваем её к нулю:

$$40-\frac{4x}{3}=0,$$

$$x=30.$$

Тогда

$$y=40-\frac{2\cdot 30}{3}=20.$$

Следовательно, прямоугольник наибольшей площади имеет стороны $$30$$ см и $$20$$ см.

Ответ: $$30\text{ см}$$ и $$20\text{ см}$$.