Упр.317 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Пусть $$x$$ — сторона квадратного основания бака, $$h$$ — его высота. Тогда объём бака

$$x^2h=13{,}5,$$

откуда

$$h=\frac{13{,}5}{x^2}.$$

Площадь поверхности открытого бака равна сумме площади основания и площади боковой поверхности:

$$S=x^2+4xh.$$

Подставим выражение для $$h$$:

$$S(x)=x^2+4x\cdot \frac{13{,}5}{x^2}=x^2+\frac{54}{x}, \qquad x>0.$$

Найдём производную:

$$S'(x)=2x-\frac{54}{x^2}.$$

Приравняем её к нулю:

$$2x-\frac{54}{x^2}=0,$$

$$2x^3-54=0,$$

$$x^3=27,$$

$$x=3.$$

Тогда

$$h=\frac{13{,}5}{3^2}=\frac{13{,}5}{9}=1{,}5.$$

Следовательно, наименьшее количество металла потребуется для бака с размерами $$3\times 3\times 1{,}5$$ дм.

Ответ

$$3\text{ дм}\times 3\text{ дм}\times 1{,}5\text{ дм}.$$