Упр.316 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Пусть длина одной стороны прямоугольника равна $$x$$ см, тогда длина другой стороны равна $$\frac{64}{x}$$ см, где $$x>0$$.

Периметр прямоугольника:

$$P(x)=2\left(x+\frac{64}{x}\right).$$

Найдём производную:

$$P'(x)=2\left(1-\frac{64}{x^2}\right)=2\cdot\frac{x^2-64}{x^2}=2\cdot\frac{(x-8)(x+8)}{x^2}.$$

Критические точки определяются из уравнения $$P'(x)=0$$:

$$2\cdot\frac{(x-8)(x+8)}{x^2}=0.$$

Отсюда $$x=8$$ или $$x=-8$$. Так как $$x>0$$, подходит только $$x=8$$.

Тогда вторая сторона равна

$$\frac{64}{8}=8.$$

Следовательно, наименьший периметр будет у квадрата со сторонами $$8$$ см и $$8$$ см.

Ответ: $$8$$ см.