Упр.315 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Пусть первое положительное число равно $$x,$$ тогда второе число равно $$\frac{16}{x}.$$

Сумма квадратов этих чисел:

$$f(x)=x^2+\left(\frac{16}{x}\right)^2=x^2+\frac{256}{x^2}, \qquad x>0.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=2x-\frac{512}{x^3}=\frac{2x^4-512}{x^3}=\frac{2(x^4-256)}{x^3}=\frac{2(x-4)(x+4)(x^2+16)}{x^3}.$$

Критические точки определяются из уравнения

$$f'(x)=0.$$

Так как $$x>0,$$ то подходит только точка $$x=4.$$

При $$x=4$$ второе число равно

$$\frac{16}{4}=4.$$

Следовательно, число $$16$$ нужно представить в виде произведения двух одинаковых положительных чисел:

$$16=4\cdot 4.$$

Ответ: $$4$$ и $$4$$.