Упр.310 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
а) $$f(x)=2\sin x+\cos 2x,\quad x\in[0;2\pi].$$
Найдём производную:
$$f'(x)=2\cos x-2\sin 2x.$$
Приравняем её к нулю:
$$2\cos x-2\sin 2x=0$$
$$2\cos x-4\sin x\cos x=0$$
$$2\cos x(1-2\sin x)=0.$$
Отсюда
$$\cos x=0 \quad \text{или} \quad \sin x=\frac12.$$
На отрезке $$[0;2\pi]$$ получаем точки:
$$x=\frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2},\ \frac{\pi}{6},\ \frac{5\pi}{6}.$$
Вычислим значения функции в критических точках и на концах отрезка:
$$f(0)=1,\quad f\!\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac32,\quad f\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=1,$$
$$f\!\left(\frac{5\pi}{6}\right)=\frac32,\quad f\!\left(\frac{3\pi}{2}\right)=-3,\quad f(2\pi)=1.$$
Следовательно,
$$\max_{[0;2\pi]} f(x)=\frac32,\qquad \min_{[0;2\pi]} f(x)=-3.$$
б) $$f(x)=1{,}5x^2+\frac{81}{x},\quad x\in[1;4].$$
Найдём производную:
$$f'(x)=3x-\frac{81}{x^2}.$$
Приравняем её к нулю:
$$3x-\frac{81}{x^2}=0$$
$$3x^3-81=0$$
$$x^3=27,\quad x=3.$$
Вычислим значения функции в критической точке и на концах отрезка:
$$f(1)=1{,}5+81=82{,}5,$$
$$f(3)=1{,}5\cdot 9+\frac{81}{3}=13{,}5+27=40{,}5,$$
$$f(4)=1{,}5\cdot 16+\frac{81}{4}=24+20{,}25=44{,}25.$$
Значит,
$$\max_{[1;4]} f(x)=82{,}5,\qquad \min_{[1;4]} f(x)=40{,}5.$$
в) $$f(x)=2\sin x+\sin 2x,\quad x\in\left[0;\frac{3\pi}{2}\right].$$
Найдём производную:
$$f'(x)=2\cos x+2\cos 2x.$$
Используем формулу $$\cos 2x=2\cos^2 x-1$$:
$$f'(x)=2\cos x+2(2\cos^2 x-1)=4\cos^2 x+2\cos x-2.$$
Приравняем к нулю:
$$4\cos^2 x+2\cos x-2=0$$
$$2\cos^2 x+\cos x-1=0.$$
Положим $$t=\cos x$$. Тогда
$$2t^2+t-1=0,$$
$$t=\frac12 \quad \text{или} \quad t=-1.$$
На отрезке $$\left[0;\frac{3\pi}{2}\right]$$ получаем критические точки:
$$x=\frac{\pi}{3},\ \pi.$$
Вычислим значения функции в критических точках и на концах отрезка:
$$f(0)=0,$$
$$f\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=2\sin\frac{\pi}{3}+\sin\frac{2\pi}{3}=\sqrt3+\frac{\sqrt3}{2}=\frac{3\sqrt3}{2},$$
$$f(\pi)=0,$$
$$f\!\left(\frac{3\pi}{2}\right)=2\sin\frac{3\pi}{2}+\sin 3\pi=-2.$$
Следовательно,
$$\max_{[0;\frac{3\pi}{2}]} f(x)=\frac{3\sqrt3}{2},\qquad \min_{[0;\frac{3\pi}{2}]} f(x)=-2.$$
г) $$f(x)=x+\frac{1}{x+2},\quad x\in[-5;-2{,}5].$$
Найдём производную:
$$f'(x)=1-\frac{1}{(x+2)^2}=\frac{(x+1)(x+3)}{(x+2)^2}.$$
Приравняем её к нулю:
$$\frac{(x+1)(x+3)}{(x+2)^2}=0,$$
откуда
$$x=-1,\quad x=-3.$$
На отрезке $$[-5;-2{,}5]$$ лежит только точка $$x=-3.$$
Вычислим значения функции в критической точке и на концах отрезка:
$$f(-5)=-5+\frac{1}{-3}=-5-\frac13=-\frac{16}{3},$$
$$f(-3)=-3+\frac{1}{-1}=-4,$$
$$f(-2{,}5)=-2{,}5+\frac{1}{-0{,}5}=-2{,}5-2=-4{,}5.$$
Значит,
$$\max_{[-5;-2{,}5]} f(x)=-4,\qquad \min_{[-5;-2{,}5]} f(x)=-\frac{16}{3}.$$
