Упр.31 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Сумма первого и пятого членов арифметической прогрессии равна $$26$$, а произведение второго и четвертого её членов равно $$160$$. Найдите сумму шести первых членов прогрессии.

Обозначим первый член арифметической прогрессии через $$a_1$$, а разность — через $$d$$. Тогда

$$a_5=a_1+4d,\qquad a_2=a_1+d,\qquad a_4=a_1+3d.$$

По условию:

$$a_1+a_5=26,$$

$$a_2a_4=160.$$

Из первого равенства получаем:

$$a_1+(a_1+4d)=26,$$

$$2a_1+4d=26,$$

$$a_1=13-2d.$$

Подставим это во второе равенство:

$$(a_1+d)(a_1+3d)=160,$$

$$(13-d)(13+d)=160,$$

$$169-d^2=160,$$

$$d^2=9,$$

$$d=3 \text{ или } d=-3.$$

Найдём соответствующие первые члены:

если $$d=3,$$ то $$a_1=13-2\cdot 3=7;$$

если $$d=-3,$$ то $$a_1=13-2\cdot(-3)=19.$$

Сумма первых шести членов арифметической прогрессии:

$$S_6=\frac{6}{2}\bigl(2a_1+5d\bigr)=3(2a_1+5d).$$

1) При $$a_1=7,\ d=3$$:

$$S_6=3(14+15)=87.$$

2) При $$a_1=19,\ d=-3$$:

$$S_6=3(38-15)=69.$$

Ответ: $$69$$ или $$87$$.