Упр.31 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Докажите формулы:
   а) $$\sqrt{a+\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}}+\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}$$;
   б) $$\sqrt{a-\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}}-\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}$$.

Положим

$$x=\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}}, \qquad y=\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}.$$

Тогда

$$x^2+y^2=\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}+\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}=a,$$

а также

$$x^2-y^2=\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}-\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}=\sqrt{a^2-b}.$$

Найдём произведение:

$$4x^2y^2=(a+\sqrt{a^2-b})(a-\sqrt{a^2-b})=a^2-(a^2-b)=b,$$

значит,

$$xy=\frac{\sqrt b}{2}.$$

Тогда

$$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2=a+\sqrt b,$$

следовательно,

$$x+y=\sqrt{a+\sqrt b}.$$

Подставляя выражения для $$x$$ и $$y$$, получаем

$$\sqrt{a+\sqrt b}=\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}}+\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}.$$

Аналогично

$$(x-y)^2=x^2-2xy+y^2=a-\sqrt b,$$

поэтому

$$x-y=\sqrt{a-\sqrt b}.$$

Значит,

$$\sqrt{a-\sqrt b}=\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}}-\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}.$$

Что и требовалось доказать.

Ответ

$$\sqrt{a+\sqrt b}=\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}}+\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}},$$

$$\sqrt{a-\sqrt b}=\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}}-\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}.$$