Упр.308 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Найдём скорость изменения функции $$f(x)=21x+2x^2-\frac{x^3}{3}.$$

Скорость равна производной:

$$v(x)=f'(x)=21+4x-x^2.$$

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения скорости на отрезке $$[-2;5],$$ исследуем функцию $$v(x).$$

Найдём производную:

$$v'(x)=4-2x=2(2-x).$$

Критическая точка:

$$2(2-x)=0 \Rightarrow x=2.$$

Она принадлежит отрезку $$[-2;5].$$ Проверим значения функции в концах отрезка и в критической точке:

$$v(-2)=21+4\cdot(-2)-(-2)^2=21-8-4=9,$$

$$v(2)=21+4\cdot2-2^2=21+8-4=25,$$

$$v(5)=21+4\cdot5-5^2=21+20-25=16.$$

Следовательно, наибольшее значение скорости на отрезке достигается при $$x=2,$$ а наименьшее — при $$x=-2.$$

Ответ: $$\max_{[-2;5]} v(x)=25,\quad \min_{[-2;5]} v(x)=9.$$