Упр.306 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) $$f(x)=x^3+3x^2-9x,\quad P_1=[-4;0],\quad P_2=[3;4].$$

Найдём производную:

$$f'(x)=3x^2+6x-9=3(x^2+2x-3)=3(x+3)(x-1).$$

Критические точки: $$x=-3,\; x=1.$$

На промежутке $$P_1=[-4;0]$$ лежит точка $$x=-3.$$ Сравним значения функции в критической точке и на концах промежутка:

$$f(-4)=(-4)^3+3\cdot(-4)^2-9\cdot(-4)=20,$$

$$f(-3)=(-3)^3+3\cdot(-3)^2-9\cdot(-3)=27,$$

$$f(0)=0^3+3\cdot0^2-9\cdot0=0.$$

Следовательно,

$$\max_{[-4;0]} f(x)=27.$$

На промежутке $$P_2=[3;4]$$ критических точек нет, поэтому сравним значения на концах:

$$f(3)=3^3+3\cdot3^2-9\cdot3=27,$$

$$f(4)=4^3+3\cdot4^2-9\cdot4=76.$$

Значит,

$$\min_{[3;4]} f(x)=27.$$

Итак, $$\max_{[-4;0]} f(x)=\min_{[3;4]} f(x)=27.$$

б) $$f(x)=x^4-2x^2+4,\quad P_1=\left[-\frac12;\frac12\right],\quad P_2=[2;3].$$

Найдём производную:

$$f'(x)=4x^3-4x=4x(x-1)(x+1).$$

Критические точки: $$x=-1,\; x=0,\; x=1.$$

На промежутке $$P_1=\left[-\frac12;\frac12\right]$$ лежит точка $$x=0.$$ Сравним значения функции в этой точке и на концах промежутка:

$$f\left(-\frac12\right)=\left(-\frac12\right)^4-2\left(-\frac12\right)^2+4=\frac{1}{16}-\frac12+4=\frac{57}{16},$$

$$f(0)=0^4-2\cdot0^2+4=4,$$

$$f\left(\frac12\right)=\left(\frac12\right)^4-2\left(\frac12\right)^2+4=\frac{1}{16}-\frac12+4=\frac{57}{16}.$$

Следовательно,

$$\max_{\left[-\frac12;\frac12\right]} f(x)=4.$$

На промежутке $$P_2=[2;3]$$ критических точек нет, поэтому сравним значения на концах:

$$f(2)=2^4-2\cdot2^2+4=12,$$

$$f(3)=3^4-2\cdot3^2+4=67.$$

Значит,

$$\min_{[2;3]} f(x)=12.$$

Итак, $$\max_{\left[-\frac12;\frac12\right]} f(x)=4<12=\min_{[2;3]} f(x).$$