Упр.305 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) $$f(x)=x^4-8x^2-9$$

Найдём производную:

$$f'(x)=4x^3-16x=4x(x^2-4).$$

Критические точки:

$$4x(x^2-4)=0 \Rightarrow x=0,\,-2,\,2.$$

На отрезке $$[-1;1]$$ лежит только точка $$x=0$$. Считаем значения функции в концах отрезка и в критической точке:

$$f(-1)=(-1)^4-8\cdot(-1)^2-9=-16,$$

$$f(0)=0^4-8\cdot 0^2-9=-9,$$

$$f(1)=1^4-8\cdot 1^2-9=-16.$$

Значит,

$$\max_{[-1;1]} f(x)=-9,\qquad \min_{[-1;1]} f(x)=-16.$$

На отрезке $$[0;3]$$ лежат критические точки $$x=0$$ и $$x=2$$. Вычислим значения:

$$f(0)=-9,$$

$$f(2)=2^4-8\cdot 2^2-9=16-32-9=-25,$$

$$f(3)=3^4-8\cdot 3^2-9=81-72-9=0.$$

Следовательно,

$$\max_{[0;3]} f(x)=0,\qquad \min_{[0;3]} f(x)=-25.$$

б) $$f(x)=\dfrac{x^2+4}{x}$$

Упростим:

$$f(x)=x+\dfrac{4}{x}.$$

Производная:

$$f'(x)=1-\dfrac{4}{x^2}=\dfrac{x^2-4}{x^2}.$$

Критические точки:

$$x^2-4=0 \Rightarrow x=\pm 2.$$

На отрезке $$[-4;-1]$$ лежит точка $$x=-2$$. Считаем значения:

$$f(-4)=\dfrac{16+4}{-4}=-5,$$

$$f(-2)=\dfrac{4+4}{-2}=-4,$$

$$f(-1)=\dfrac{1+4}{-1}=-5.$$

Значит,

$$\max_{[-4;-1]} f(x)=-4,\qquad \min_{[-4;-1]} f(x)=-5.$$

На отрезке $$[1;3]$$ лежит точка $$x=2$$. Вычислим:

$$f(1)=\dfrac{1+4}{1}=5,$$

$$f(2)=\dfrac{4+4}{2}=4,$$

$$f(3)=\dfrac{9+4}{3}=\dfrac{13}{3}.$$

Следовательно,

$$\max_{[1;3]} f(x)=5,\qquad \min_{[1;3]} f(x)=4.$$

в) $$f(x)=3x^5-5x^3$$

Найдём производную:

$$f'(x)=15x^4-15x^2=15x^2(x-1)(x+1).$$

Критические точки:

$$x=-1,\;0,\;1.$$

На отрезке $$[0;2]$$ лежат точки $$x=0$$ и $$x=1$$. Вычислим значения:

$$f(0)=0,$$

$$f(1)=3-5=-2,$$

$$f(2)=3\cdot 2^5-5\cdot 2^3=96-40=56.$$

Значит,

$$\max_{[0;2]} f(x)=56,\qquad \min_{[0;2]} f(x)=-2.$$

На отрезке $$[2;3]$$ критических точек нет. Считаем значения на концах:

$$f(2)=56,$$

$$f(3)=3\cdot 3^5-5\cdot 3^3=729-135=594.$$

Следовательно,

$$\max_{[2;3]} f(x)=594,\qquad \min_{[2;3]} f(x)=56.$$

г) $$f(x)=\dfrac{x}{x+1}$$

Найдём производную:

$$f'(x)=\dfrac{1}{(x+1)^2}.$$

Производная не обращается в нуль, поэтому критических точек нет. На отрезке $$[-3;-2]$$ считаем значения на концах:

$$f(-3)=\dfrac{-3}{-3+1}=\dfrac{3}{2},$$

$$f(-2)=\dfrac{-2}{-2+1}=2.$$

Значит,

$$\max_{[-3;-2]} f(x)=2,\qquad \min_{[-3;-2]} f(x)=\dfrac{3}{2}.$$

На отрезке $$[1;5]$$ также нет критических точек. Тогда:

$$f(1)=\dfrac{1}{2},$$

$$f(5)=\dfrac{5}{6}.$$

Следовательно,

$$\max_{[1;5]} f(x)=\dfrac{5}{6},\qquad \min_{[1;5]} f(x)=\dfrac{1}{2}.$$

Ответ

$$\begin{aligned} &\text{а) } \max_{[-1;1]} f(x)=-9,\ \min_{[-1;1]} f(x)=-16;\quad \max_{[0;3]} f(x)=0,\ \min_{[0;3]} f(x)=-25;\\ &\text{б) } \max_{[-4;-1]} f(x)=-4,\ \min_{[-4;-1]} f(x)=-5;\quad \max_{[1;3]} f(x)=5,\ \min_{[1;3]} f(x)=4;\\ &\text{в) } \max_{[0;2]} f(x)=56,\ \min_{[0;2]} f(x)=-2;\quad \max_{[2;3]} f(x)=594,\ \min_{[2;3]} f(x)=56;\\ &\text{г) } \max_{[-3;-2]} f(x)=2,\ \min_{[-3;-2]} f(x)=\dfrac{3}{2};\quad \max_{[1;5]} f(x)=\dfrac{5}{6},\ \min_{[1;5]} f(x)=\dfrac{1}{2}. \end{aligned}$$