Упр.304 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) Рассмотрим функцию $$f(x)=4x^3-3x^2-36x-10.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=12x^2-6x-36=6(2x^2-x-6)=6(2x-3)(x+2).$$

Критические точки:

$$6(2x-3)(x+2)=0 \Rightarrow x=-2,\; x=\frac32.$$

Исследуем знак производной:

$$f'(x)>0 \text{ при } x<-2,\qquad f'(x)<0 \text{ при } -2<x<\frac32,\qquad f'(x)>0 \text{ при } x>\frac32.$$

Значит, функция сначала возрастает, затем убывает, потом снова возрастает. Поэтому уравнение имеет три корня.

б) Рассмотрим функцию $$f(x)=\frac{x^4}{4}-x^3-\frac{x^2}{2}+3x.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=x^3-3x^2-x+3=(x-3)(x-1)(x+1).$$

Критические точки:

$$x=-1,\; x=1,\; x=3.$$

Исследуем знак производной:

$$f'(x)<0 \text{ на } (-\infty,-1),\quad f'(x)>0 \text{ на } (-1,1),\quad f'(x)<0 \text{ на } (1,3),\quad f'(x)>0 \text{ на } (3,+\infty).$$

Следовательно, уравнение имеет четыре корня.

в) Рассмотрим функцию $$f(x)=x^4-4x^3-9.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=4x^3-12x^2=4x^2(x-3).$$

Критические точки:

$$x=0,\; x=3.$$

Исследуем знак производной:

$$f'(x)<0 \text{ на } (-\infty,3),\qquad f'(x)>0 \text{ на } (3,+\infty).$$

Функция убывает на всей области до точки $$x=3$$ и возрастает после неё, значит уравнение имеет два корня.

г) Рассмотрим функцию $$f(x)=x^2-\frac{x^3}{3}-1.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=2x-x^2=x(2-x).$$

Критические точки:

$$x=0,\; x=2.$$

Исследуем знак производной:

$$f'(x)<0 \text{ на } (-\infty,0),\qquad f'(x)>0 \text{ на } (0,2),\qquad f'(x)<0 \text{ на } (2,+\infty).$$

Следовательно, уравнение имеет три корня.

Ответ

а) три корня; б) четыре корня; в) два корня; г) три корня.