Упр.303 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
Докажем положительность функции на каждом из указанных промежутков, используя производную.
$$f(x)=\tg x-x,\quad I=\left(0;\frac{\pi}{2}\right).$$
Найдём производную:
$$f'(x)=\frac{1}{\cos^2 x}-1=\frac{1-\cos^2 x}{\cos^2 x}=\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}.$$
На промежутке $$\left(0;\frac{\pi}{2}\right)$$ имеем $$\sin^2 x>0$$ и $$\cos^2 x>0$$, значит $$f'(x)>0$$. Следовательно, функция возрастает на этом промежутке.
Кроме того,
$$f(0)=\tg 0-0=0.$$
Так как функция возрастает и при $$x>0$$, то $$f(x)>f(0)=0$$.
$$f(x)=\sqrt{x}-\frac{1}{x},\quad I=[1;\infty).$$
Найдём производную:
$$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}+\frac{1}{x^2}.$$
При $$x\ge 1$$ обе части положительны, значит $$f'(x)>0$$. Следовательно, функция возрастает на $$[1;\infty)$$.
Проверим значение в левой границе:
$$f(1)=\sqrt{1}-\frac{1}{1}=0.$$
Так как функция возрастает, то для всех $$x>1$$ имеем $$f(x)>0$$.
$$f(x)=x-\sin x,\quad I=(0;\infty).$$
Найдём производную:
$$f'(x)=1-\cos x.$$
Так как $$\cos x\le 1$$, то $$f'(x)\ge 0$$. Значит, функция не убывает на $$\left(0;\infty\right)$$.
При этом
$$f(0)=0-\sin 0=0.$$
Следовательно, для $$x>0$$ получаем $$f(x)>0$$.
$$f(x)=x+\frac{\pi}{2}-\cos x,\quad I=\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right].$$
Найдём производную:
$$f'(x)=1+\sin x.$$
На промежутке $$\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]$$ имеем $$\sin x>-1$$, значит $$f'(x)>0$$. Следовательно, функция возрастает на данном промежутке.
Проверим значение в левой границе:
$$f\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}-\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right)=0.$$
Так как функция возрастает, то при $$x>-\frac{\pi}{2}$$ имеем $$f(x)>0$$.
Ответ: во всех четырёх случаях функция положительна на указанном промежутке.
