Упр.302 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
Исследуем каждую функцию и укажем основные точки и свойства, по которым строится график.
а) $$f(x)=\sin^2 x+\sin x$$
Область определения: $$D(f)=\mathbb{R}.$$
Найдём нули функции:
$$\sin^2 x+\sin x=\sin x(\sin x+1)=0.$$
Отсюда
$$\sin x=0 \Rightarrow x=\pi n,\; n\in\mathbb{Z},$$
или
$$\sin x=-1 \Rightarrow x=-\frac{\pi}{2}+2\pi k,\; k\in\mathbb{Z}.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=2\sin x\cos x+\cos x=\cos x(2\sin x+1).$$
Критические точки определяются из уравнения
$$\cos x(2\sin x+1)=0.$$
На промежутке $$[0;2\pi]$$ получаем точки:
$$x=\frac{\pi}{2},\ \frac{7\pi}{6},\ \frac{3\pi}{2},\ \frac{11\pi}{6}.$$
Значения функции в этих точках:
$$f\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=2,\qquad f\!\left(\frac{3\pi}{2}\right)=0,$$
$$f\!\left(\frac{7\pi}{6}\right)=f\!\left(\frac{11\pi}{6}\right)=-\frac14.$$
Следовательно, наибольшее значение функции равно $$2$$, наименьшее — $$-\frac14$$.
По этим точкам строится периодический график с периодом $$2\pi$$.
б) $$f(x)=\frac{2x}{1+x^2}$$
Область определения: $$D(f)=\mathbb{R}.$$
Функция нечётная, так как
$$f(-x)=\frac{-2x}{1+x^2}=-f(x).$$
Найдём производную:
$$f'(x)=\frac{2(1+x^2)-2x\cdot 2x}{(1+x^2)^2}=\frac{2(1-x^2)}{(1+x^2)^2}.$$
Знак производной определяется числителем $$1-x^2$$:
- $$f'(x)>0$$ при $$|x|<1$$;
- $$f'(x)=0$$ при $$x=\pm1$$;
- $$f'(x)<0$$ при $$|x|>1$$.
Значит, функция убывает на $$(-\infty;-1)$$ и $$(1;\infty)$$, возрастает на $$(-1;1)$$.
Экстремумы:
$$f(-1)=-1,\qquad f(1)=1.$$
График проходит через начало координат и имеет горизонтальную асимптоту $$y=0$$.
в) $$f(x)=\cos^2 x-\cos x$$
Область определения: $$D(f)=\mathbb{R}.$$ Функция чётная, так как $$f(-x)=f(x).$$
Найдём нули функции:
$$\cos^2 x-\cos x=\cos x(\cos x-1)=0.$$
Отсюда
$$\cos x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; n\in\mathbb{Z},$$
или
$$\cos x=1 \Rightarrow x=2\pi k,\; k\in\mathbb{Z}.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=-2\cos x\sin x+\sin x=\sin x(1-2\cos x).$$
Критические точки на одном периоде $$[0;2\pi]$$:
$$x=0,\ \frac{\pi}{3},\ \pi,\ \frac{5\pi}{3},\ 2\pi.$$
Значения функции:
$$f(0)=0,\qquad f\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=-\frac14,\qquad f(\pi)=2,\qquad f\!\left(\frac{5\pi}{3}\right)=-\frac14.$$
Следовательно, наибольшее значение функции равно $$2$$, наименьшее — $$-\frac14$$.
График строится с учётом чётности и периодичности.
г) $$f(x)=\frac{x}{x-1}$$
Область определения: $$D(f)=\mathbb{R}\setminus\{1\}.$$
Функция проходит через начало координат, так как $$f(0)=0.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=\frac{(x-1)-x}{(x-1)^2}=-\frac{1}{(x-1)^2}.$$
Так как $$f'(x)<0$$ при всех $$x\ne1$$, функция убывает на промежутках $$(-\infty;1)$$ и $$(1;\infty).$$
Асимптоты:
- $$x=1$$ — вертикальная асимптота;
- $$y=1$$ — горизонтальная асимптота, так как $$\frac{x}{x-1}=1+\frac{1}{x-1}.$$
По этим данным строится гипербола с указанными асимптотами.
Ответ
Для всех четырёх функций найдены область определения, нули, производные, промежутки монотонности, экстремумы и основные элементы графиков: у функции а период $$2\pi$$, у б и г — асимптоты, у в — чётность и периодичность.
