Упр.301 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) $$f(x)=x^2\sqrt{1+x}$$

Область определения: $$1+x\ge 0,\quad x\ge -1.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=2x\sqrt{1+x}+x^2\cdot \frac{1}{2\sqrt{1+x}} =\frac{4x(1+x)+x^2}{2\sqrt{1+x}} =\frac{5x^2+4x}{2\sqrt{1+x}} =\frac{x(5x+4)}{2\sqrt{1+x}}.$$

Критические точки: $$x=0,\quad x=-\frac45.$$

Так как знаменатель положителен при $$x>-1,$$ знак производной определяется числителем. Получаем:

$$[-1;-\tfrac45]\ \text{и}\ [0;+\infty)\ \text{— промежутки возрастания,}$$
$$[-\tfrac45;0]\ \text{— промежуток убывания.}$$

В точке $$x=-\frac45$$ достигается максимум:

$$f\!\left(-\frac45\right)=\left(-\frac45\right)^2\sqrt{1-\frac45} =\frac{16}{25\sqrt5}.$$

В точке $$x=0$$ достигается минимум:

$$f(0)=0.$$

б) $$f(x)=\frac{6(x-1)}{x^2+3}$$

Область определения: $$x\in\mathbb R.$$

Точки пересечения с осями:

$$f(0)=\frac{6(0-1)}{0^2+3}=-2,$$
значит, с осью $$Oy$$ график пересекается в точке $$\,(0,-2).$$

С осью $$Ox$$:

$$\frac{6(x-1)}{x^2+3}=0 \;\Rightarrow\; x=1.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=\frac{6(x^2+3)-6(x-1)\cdot 2x}{(x^2+3)^2} =\frac{-6(x+1)(x-3)}{(x^2+3)^2}.$$

Критические точки: $$x=-1,\quad x=3.$$

Знак производной:

$$(-\infty;-1)\ \text{— убывание,}$$
$$(-1;3)\ \text{и}\ (3;+\infty)\ \text{— возрастание.}$$

Следовательно, $$x=-1$$ — точка минимума,

$$f(-1)=\frac{6(-2)}{1+3}=-3.$$

Точка $$x=3$$ — точка максимума,

$$f(3)=\frac{6\cdot 2}{9+3}=1.$$

в) $$f(x)=x\sqrt{2-x}$$

Область определения: $$2-x\ge 0,\quad x\le 2.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=\sqrt{2-x}-\frac{x}{2\sqrt{2-x}} =\frac{2(2-x)-x}{2\sqrt{2-x}} =\frac{4-3x}{2\sqrt{2-x}}.$$

Критическая точка: $$x=\frac43.$$

Так как знаменатель положителен при $$x<2,$$ то

$$(-\infty;\tfrac43]\ \text{— промежуток возрастания,}$$
$$[\tfrac43;2]\ \text{— промежуток убывания.}$$

В точке $$x=\frac43$$ достигается максимум:

$$f\!\left(\frac43\right)=\frac43\sqrt{2-\frac43} =\frac43\sqrt{\frac23}.$$

г) $$f(x)=\frac{2x}{1-x^2}$$

Область определения: $$x\ne \pm 1.$$

Функция нечётная, так как

$$f(-x)=\frac{-2x}{1-x^2}=-f(x).$$

Найдём производную:

$$f'(x)=\frac{2(1-x^2)-2x(-2x)}{(1-x^2)^2} =\frac{2(1+x^2)}{(1-x^2)^2}.$$

Поскольку $$1+x^2>0,$$ а $$\,(1-x^2)^2>0$$ при $$x\ne \pm1,$$ то $$f'(x)>0$$ на всей области определения.

Следовательно, функция возрастает на каждом из промежутков своей области определения:

$$(-\infty;-1),\quad (-1;1),\quad (1;+\infty).$$

Ответ

а) $$D(f)=[-1;+\infty),$$ функция возрастает на $$[-1;-\frac45]$$ и $$[0;+\infty),$$ убывает на $$[-\frac45;0],$$ максимум $$f(-\frac45)=\frac{16}{25\sqrt5},$$ минимум $$f(0)=0.$$
б) $$D(f)=\mathbb R,$$ функция убывает на $$(-\infty;-1),$$ возрастает на $$(-1;3)$$ и $$(3;+\infty),$$ минимум $$f(-1)=-3,$$ максимум $$f(3)=1.$$
в) $$D(f)=(-\infty;2],$$ функция возрастает на $$(-\infty;\frac43]$$ и убывает на $$[\frac43;2],$$ максимум $$f(\frac43)=\frac43\sqrt{\frac23}.$$
г) $$D(f)=\mathbb R\setminus\{-1,1\},$$ функция возрастает на $$(-\infty;-1),\ (-1;1),\ (1;+\infty).$$