Упр.300 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
а) $$f(x)=\frac12x^2-\frac15x^5$$
Функция определена при всех $$x\in\mathbb R$$. Найдём точки пересечения с осями координат:
$$f(0)=0,$$
$$\frac12x^2-\frac15x^5=0,$$
$$x^2\left(\frac12-\frac15x^3\right)=0,$$
$$x=0 \quad \text{или} \quad x^3=\frac52,\quad x=\sqrt[3]{\frac52}.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=x-x^4=x(1-x^3).$$
Критические точки:
$$x(1-x^3)=0,\quad x=0,\; x=1.$$
Знак производной:
$$f'(x)<0 \text{ при } x\in(-\infty;0),\qquad f'(x)>0 \text{ при } x\in(0;1),\qquad f'(x)<0 \text{ при } x\in(1;+\infty).$$
Следовательно, функция убывает на $$(-\infty;0]$$ и $$[1;+\infty)$$, возрастает на $$[0;1]$$.
Экстремумы:
$$f(0)=0$$ — точка минимума,
$$f(1)=\frac12-\frac15=\frac3{10}$$ — точка максимума.
Для построения графика отметим точки $$\left(0,0\right)$$, $$\left(1,\frac3{10}\right)$$ и $$\left(\sqrt[3]{\frac52},0\right)$$.
б) $$f(x)=4x^2-x^4$$
Функция определена при всех $$x\in\mathbb R$$ и является чётной, так как $$f(-x)=f(x)$$.
Пересечения с осями координат:
$$f(0)=0,$$
$$4x^2-x^4=0,$$
$$x^2(4-x^2)=0,$$
$$x=0,\; x=\pm2.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=8x-4x^3=4x(2-x^2)=4x(\sqrt2-x)(\sqrt2+x).$$
Критические точки:
$$4x(2-x^2)=0,\quad x=0,\; x=\pm\sqrt2.$$
Знак производной:
$$f'(x)>0 \text{ на } (-\infty;-\sqrt2)\cup(0;\sqrt2),$$
$$f'(x)<0 \text{ на } (-\sqrt2;0)\cup(\sqrt2;+\infty).$$
Значит, функция возрастает на $$(-\infty;-\sqrt2]$$ и $$[0;\sqrt2]$$, убывает на $$[-\sqrt2;0]$$ и $$[\sqrt2;+\infty).$$
Экстремумы:
$$f(-\sqrt2)=4,\qquad f(0)=0,\qquad f(\sqrt2)=4.$$
Точки $$x=\pm\sqrt2$$ — точки максимума, $$x=0$$ — точка минимума.
в) $$f(x)=\frac15x^5-\frac13x^3$$
Функция определена при всех $$x\in\mathbb R$$ и является нечётной, так как $$f(-x)=-f(x)$$.
Пересечения с осями координат:
$$f(0)=0,$$
$$\frac15x^5-\frac13x^3=0,$$
$$x^3\left(\frac15x^2-\frac13\right)=0,$$
$$x=0,\; x=\pm\sqrt{\frac53}.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=x^4-x^2=x^2(x-1)(x+1).$$
Критические точки:
$$x^2(x-1)(x+1)=0,\quad x=0,\; x=\pm1.$$
Знак производной:
$$f'(x)>0 \text{ на } (-\infty;-1)\cup(1;+\infty),$$
$$f'(x)<0 \text{ на } (-1;0)\cup(0;1).$$
Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;-1]$$ и $$[1;+\infty)$$, убывает на $$[-1;1]$$.
Экстремумы:
$$f(-1)=\frac15\cdot(-1)-\frac13\cdot(-1)=\frac{2}{15},$$
$$f(1)=\frac15-\frac13=-\frac{2}{15}.$$
Точка $$x=-1$$ — точка максимума, $$x=1$$ — точка минимума.
г) $$f(x)=5x^3-3x^5$$
Функция определена при всех $$x\in\mathbb R$$ и является нечётной, так как $$f(-x)=-f(x)$$.
Пересечения с осями координат:
$$f(0)=0,$$
$$5x^3-3x^5=0,$$
$$x^3(5-3x^2)=0,$$
$$x=0,\; x=\pm\sqrt{\frac53}.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=15x^2-15x^4=15x^2(1-x^2)=15x^2(1-x)(1+x).$$
Критические точки:
$$15x^2(1-x^2)=0,\quad x=0,\; x=\pm1.$$
Знак производной:
$$f'(x)<0 \text{ на } (-\infty;-1)\cup(1;+\infty),$$
$$f'(x)>0 \text{ на } (-1;0)\cup(0;1).$$
Значит, функция убывает на $$(-\infty;-1]$$ и $$[1;+\infty)$$, возрастает на $$[-1;1].$$
Экстремумы:
$$f(-1)=-5+3=-2,$$
$$f(1)=5-3=2.$$
Точка $$x=-1$$ — точка минимума, $$x=1$$ — точка максимума.
Ответ: для всех четырёх функций найдены нули, промежутки возрастания и убывания, а также точки экстремума, по которым строятся их графики.
