Упр.30 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Докажите, что числа $$\frac{1}{\log_2 3}$$, $$\frac{1}{\log_2 6}$$, $$\frac{1}{\log_2 12}$$ являются тремя последовательными членами арифметической прогрессии.

Обозначим

$$a_1=\frac{1}{\log_3 2}=\log_2 3,\qquad a_2=\frac{1}{\log_6 2}=\log_2 6,\qquad a_3=\frac{1}{\log_{12} 2}=\log_2 12.$$

Проверим признак арифметической прогрессии: средний член должен быть равен полусумме крайних.

$$a_1+a_3=\log_2 3+\log_2 12=\log_2(3\cdot 12)=\log_2 36,$$

$$2a_2=2\log_2 6=\log_2 6^2=\log_2 36.$$

Следовательно,

$$2a_2=a_1+a_3,$$

то есть числа $$\frac{1}{\log_3 2},\ \frac{1}{\log_6 2},\ \frac{1}{\log_{12} 2}$$ являются тремя последовательными членами арифметической прогрессии.

Ответ: да, являются.