Упр.30 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Докажите тождество $$\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)=(ax+by)^2+(ay-bx)^2$$.

Раскроем скобки в правой части:

$$(ax+by)^2+(ay-bx)^2= a^2x^2+2abxy+b^2y^2+a^2y^2-2abxy+b^2x^2.$$

Сократим противоположные слагаемые:

$$a^2x^2+b^2x^2+a^2y^2+b^2y^2.$$

Вынесем общие множители:

$$a^2(x^2+y^2)+b^2(x^2+y^2)=(a^2+b^2)(x^2+y^2).$$

Следовательно,

$$(a^2+b^2)(x^2+y^2)=(ax+by)^2+(ay-bx)^2.$$

Ответ

Тождество доказано.