Упр.3 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. К числу $$523$$ допишите две цифры справа так, чтобы полученное пятизначное число делилось на: а) $$3$$ и $$5$$; б) $$8$$ и $$9$$.

Пусть $$a$$ и $$b$$ — цифры числа: $$a$$ — десятки, $$b$$ — единицы.

1. Чтобы число $$523ab$$ делилось на $$3$$ и $$5$$, оно должно делиться на $$15$$.

   Делимость на $$5$$ требует, чтобы $$b=0$$ или $$b=5$$.

   Делимость на $$3$$ означает, что сумма цифр числа делится на $$3$$:

   $$5+2+3+a+b=10+a+b.$$

   Рассмотрим оба случая:

   • если $$b=0$$, то $$10+a$$ делится на $$3$$, значит $$a=2,5,8$$;
   • если $$b=5$$, то $$15+a$$ делится на $$3$$, значит $$a=0,3,6,9$$.

   Получаем числа:

   $$52320,\ 52350,\ 52380,\ 52305,\ 52335,\ 52365,\ 52395.$$

2. Чтобы число $$523ab$$ делилось на $$8$$ и $$9$$, оно должно делиться на $$72$$.

   Проверим делимость на $$8$$ по последним трём цифрам $$3ab$$:

   $$300+10a+b$$ должно делиться на $$8$$.

   Так как $$300 \equiv 4 \pmod{8}$$, а $$10a+b \equiv 2a+b \pmod{8}$$, подбираем цифры так, чтобы последние три цифры образовывали число, кратное $$8$$.

   Одновременно сумма цифр должна делиться на $$9$$:

   $$5+2+3+a+b=10+a+b.$$

   Подходит пара $$a=4,\ b=4$$, так как число $$344$$ делится на $$8$$, а сумма цифр $$10+4+4=18$$ делится на $$9$$.

   Следовательно, искомое число:

   $$52344.$$

Ответ: а) $$52320,\ 52350,\ 52380,\ 52305,\ 52335,\ 52365,\ 52395$$; б) $$52344$$.