Упр.3 Глава 4 Вопросы и задачи на повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
- Дайте определение степени с рациональным показателем и перечислите основные свойства таких степеней.
- Найдите значение:
а) $$\left(\frac{125}{8}\right)^{\frac{2}{3}}{}^{-\frac{1}{2}}$$;
б) $$64^{\frac{1}{5}}:2^{-\frac{1}{5}}\cdot\left(2^{\frac{1}{10}}\right)^6$$;
в) $$16^{-\frac{1}{4}}$$;
г) $$\left(\frac{81}{625}\right)^{\frac{1}{4}}$$. - Какое из чисел больше:
а) $$16^{\frac{1}{3}}$$ или $$2^{\frac{5}{4}}$$;
б) $$3^{-\frac{2}{3}}$$ или $$9^{-\frac{3}{4}}$$;
в) $$0{,}3^{\frac{4}{7}}$$ или $$0{,}3^{-\frac{4}{7}}$$;
г) $$5^{-\frac{2}{3}}$$ или $$5^{-0{,}6}$$?
Степенью числа $$a>0$$ с рациональным показателем $$r=\frac{m}{n}$$, где $$m$$ — целое число, $$n\in \mathbb{N},\ n>1,$$ называется число
$$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}.$$
Основные свойства степеней:
- $$a^r\cdot a^s=a^{r+s};$$
- $$a^r:a^s=a^{r-s};$$
- $$\left(a^r\right)^s=a^{rs};$$
- $$\left(ab\right)^r=a^r\cdot b^r;$$
- $$\left(\frac{a}{b}\right)^r=\frac{a^r}{b^r}.$$
Вычислим значения:
а) $$\left(\left(\frac{125}{8}\right)^{\frac{2}{3}}\right)^{-\frac{1}{2}}=\left(\frac{125}{8}\right)^{-\frac{1}{3}}=\left(\frac{5}{2}\right)^{-1}=\frac{2}{5};$$
б) $$64^{\frac{1}{5}}:2^{-\frac{1}{5}}\cdot \left(2^{\frac{1}{10}}\right)^6=2^{\frac{6}{5}+\frac{1}{5}+\frac{3}{5}}=2^{\frac{10}{5}}=4;$$
в) $$16^{-\frac{1}{4}}=\left(2^4\right)^{-\frac{1}{4}}=2^{-1}=\frac{1}{2};$$
г) $$\left(\frac{81}{625}\right)^{\frac{1}{4}}=\left(\frac{3^4}{5^4}\right)^{\frac{1}{4}}=\frac{3}{5}.$$
Сравним числа:
а) $$16^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{16}=\sqrt[3]{2^4}=2^{\frac{4}{3}},$$ а так как $$\frac{5}{4}<\frac{4}{3},$$ то $$2^{\frac{5}{4}}<2^{\frac{4}{3}}.$$ Значит, больше $$16^{\frac{1}{3}}.$$
б) $$3^{-\frac{2}{3}}=9^{-\frac{3}{4}}?$$ Перепишем:
$$9^{-\frac{3}{4}}=\left(3^2\right)^{-\frac{3}{4}}=3^{-\frac{3}{2}}.$$
Так как $$-\frac{3}{2}<-\frac{2}{3},$$ то $$3^{-\frac{3}{2}}<3^{-\frac{2}{3}}.$$ Значит, больше $$3^{-\frac{2}{3}}.$$
в) Так как $$0{,}3<1,$$ то при большем показателе значение степени меньше. Поскольку $$\frac{4}{7}>-\frac{4}{7},$$ имеем
$$0{,}3^{\frac{4}{7}}<0{,}3^{-\frac{4}{7}}.$$
Значит, больше $$0{,}3^{-\frac{4}{7}}.$$
г) Так как $$-\frac{2}{3}<-0{,}6,$$ то при основании $$5>1$$ большее значение соответствует большему показателю. Следовательно,
$$5^{-0{,}6}>5^{-\frac{2}{3}}.$$
Ответ: 1) $$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$$, свойства перечислены выше; 2) а) $$\frac{2}{5}$$, б) $$4$$, в) $$\frac{1}{2}$$, г) $$\frac{3}{5}$$; 3) а) $$16^{\frac{1}{3}}$$, б) $$3^{-\frac{2}{3}}$$, в) $$0{,}3^{-\frac{4}{7}}$$, г) $$5^{-0{,}6}$$.
