Упр.3 Глава 3 Вопросы и задачи на повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
- Сформулируйте три правила нахождения первообразных.
- Найдите общий вид первообразных для функции:
а) $$f(x)=\sin(3x)-\frac{2}{\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)}$$;
б) $$f(x)=\frac{3}{x^4}-\frac{1}{2\mathrm{v}x}$$;
в) $$f(x)=(4-5x)^3-\frac{1}{(2x-1)^3}$$;
г) $$f(x)=x-10\cos(2x)$$. - Для функции $$f$$ найдите первообразную, график которой проходит через точку $$M$$:
а) $$f(x)=(2-3x)^2$$, $$M(1; 2)$$;
б) $$f(x)=\sin(2x)$$, $$M\left(\frac{?}{4}; -2\right)$$;
в) $$f(x)=\mathrm{v}2\cos(x)$$, $$M\left(\frac{?}{4}; 2\right)$$;
г) $$f(x)=-\frac{1}{\mathrm{v}(x+1)}$$, $$M(0; 3)$$.
Если $$F$$ — первообразная для $$f$$, а $$G$$ — первообразная для $$g$$, то $$F+G$$ является первообразной для $$f+g$$.
Если $$F$$ — первообразная для $$f$$, а $$k$$ — постоянная, то $$kF$$ является первообразной для $$kf$$.
Если $$F(x)$$ — первообразная для $$f(x)$$, а $$k$$ и $$b$$ — постоянные, $$k \ne 0$$, то $$\frac{1}{k}F(kx+b)$$ является первообразной для $$f(kx+b)$$.
Найдём общий вид первообразных.
а) $$f(x)=\sin 3x-\frac{2}{\cos^2 \frac{x}{2}}$$
$$F(x)=\int \sin 3x\,dx-\int \frac{2}{\cos^2 \frac{x}{2}}\,dx = -\frac{1}{3}\cos 3x-4\tan \frac{x}{2}+C.$$
б) $$f(x)=\frac{3}{x^4}-\frac{1}{2\sqrt{x}}$$
$$F(x)=\int \left(3x^{-4}-\frac{1}{2}x^{-1/2}\right)dx = -\frac{1}{x^3}-\sqrt{x}+C.$$
в) $$f(x)=(4-5x)^3-\frac{1}{(2x-1)^3}$$
$$F(x)=\int (4-5x)^3\,dx-\int (2x-1)^{-3}\,dx = -\frac{(4-5x)^4}{20}+\frac{1}{4(2x-1)^2}+C.$$
г) $$f(x)=x-10\cos 2x$$
$$F(x)=\int x\,dx-10\int \cos 2x\,dx = \frac{x^2}{2}-5\sin 2x+C.$$
Теперь найдём первообразную, график которой проходит через заданную точку.
а) $$f(x)=(2-3x)^2,\quad M(1;2)$$
$$F(x)=\int (2-3x)^2\,dx = -\frac{(2-3x)^3}{9}+C.$$
Подставим точку $$M(1;2)$$:
$$-\frac{(2-3)^3}{9}+C=2,\qquad \frac{1}{9}+C=2,\qquad C=\frac{17}{9}.$$
$$F(x)=\frac{17}{9}-\frac{(2-3x)^3}{9}.$$
б) $$f(x)=\sin 2x,\quad M\left(\frac{\pi}{4};-2\right)$$
$$F(x)=\int \sin 2x\,dx=-\frac{1}{2}\cos 2x+C.$$
Подставим точку $$M\left(\frac{\pi}{4};-2\right)$$:
$$-\frac{1}{2}\cos \frac{\pi}{2}+C=-2,\qquad C=-2.$$
$$F(x)=-\frac{1}{2}\cos 2x-2.$$
в) $$f(x)=\sqrt{2}\cos x,\quad M\left(\frac{\pi}{4};2\right)$$
$$F(x)=\int \sqrt{2}\cos x\,dx=\sqrt{2}\sin x+C.$$
Подставим точку $$M\left(\frac{\pi}{4};2\right)$$:
$$\sqrt{2}\sin \frac{\pi}{4}+C=2,\qquad 1+C=2,\qquad C=1.$$
$$F(x)=\sqrt{2}\sin x+1.$$
г) $$f(x)=-\frac{1}{\sqrt{x+1}},\quad M(0;3)$$
$$F(x)=\int -\frac{1}{\sqrt{x+1}}\,dx=-2\sqrt{x+1}+C.$$
Подставим точку $$M(0;3)$$:
$$-2\sqrt{1}+C=3,\qquad C=5.$$
$$F(x)=-2\sqrt{x+1}+5.$$
Ответ
1) $$F+G$$ — первообразная для $$f+g$$; $$kF$$ — первообразная для $$kf$$; $$\frac{1}{k}F(kx+b)$$ — первообразная для $$f(kx+b)$$, $$k\ne 0$$.
2) а) $$F(x)=-\frac{1}{3}\cos 3x-4\tan \frac{x}{2}+C$$; б) $$F(x)=-\frac{1}{x^3}-\sqrt{x}+C$$; в) $$F(x)=-\frac{(4-5x)^4}{20}+\frac{1}{4(2x-1)^2}+C$$; г) $$F(x)=\frac{x^2}{2}-5\sin 2x+C$$.
3) а) $$F(x)=\frac{17}{9}-\frac{(2-3x)^3}{9}$$; б) $$F(x)=-\frac{1}{2}\cos 2x-2$$; в) $$F(x)=\sqrt{2}\sin x+1$$; г) $$F(x)=-2\sqrt{x+1}+5$$.
