Упр.3 Глава 2 Вопросы и задачи на повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
- Сформулируйте правила вычисления производных. Чему равна производная функции $$f(x)=x^n$$ ($$n$$ — целое число)?
- Дифференцируемая функция $$f$$ задана графиком (рис. 117). Постройте касательные к графику $$f$$ в указанных точках и найдите приближённые значения производной в точках $$a$$, $$b$$, $$c$$, $$d$$.
- Продифференцируйте функцию:
а) $$f(x)=(x+2)\sin(x)$$;
б) $$f(x)=\frac{4}{(9+7x)^5}$$;
в) $$f(x)=x^3-\frac{2}{x}+\cos(3x)$$;
г) $$f(x)=\frac{x^2}{x+3}$$.
1) Если функции $$u$$ и $$v$$ дифференцируемы в точке $$x_0$$, то дифференцируема и их сумма, произведение и частное:
$$(u+v)’=u’+v’, \qquad (uv)’=u’v+uv’,$$
$$\left(\frac{u}{v}\right)’=\frac{u’v-uv’}{v^2}, \qquad (Cu)’=Cu’.$$
Производная функции $$f(x)=x^n$$, где $$n$$ — целое число:
$$f'(x)=nx^{n-1}.$$
Ход решения
2) По графику касательная в точке с горизонтальным участком имеет угловой коэффициент $$0$$, а производная равна угловому коэффициенту касательной.
а) $$f'(a)=0,\quad f'(b)=-\frac{4}{3},\quad f'(c)=0,\quad f'(d)=\frac{4}{3}.$$
б) $$f'(a)=0,\quad f'(b)=\frac{9}{8},\quad f'(c)=0,\quad f'(d)=-\frac{3}{2}.$$
3) Найдём производные:
$$f(x)=(x+2)\sin x$$
$$f'(x)=1\cdot \sin x+(x+2)\cos x=\sin x+(x+2)\cos x.$$
$$f(x)=\frac{4}{(9+7x)^5}$$
$$f'(x)=4\cdot(-5)(9+7x)^{-6}\cdot 7=-\frac{140}{(9+7x)^6}.$$
$$f(x)=x^3-\frac{2}{x}+\cos 3x$$
$$f'(x)=3x^2+\frac{2}{x^2}-3\sin 3x.$$
$$f(x)=\frac{x^2}{x+3}$$
$$f'(x)=\frac{2x(x+3)-x^2}{(x+3)^2}=\frac{x^2+6x}{(x+3)^2}.$$
Ответ
1) $$f'(x)=nx^{n-1}.$$
2) а) $$0,\,-\frac{4}{3},\,0,\,\frac{4}{3}$$; б) $$0,\,\frac{9}{8},\,0,\,-\frac{3}{2}$$.
3) а) $$f'(x)=\sin x+(x+2)\cos x$$; б) $$f'(x)=-\frac{140}{(9+7x)^6}$$; в) $$f'(x)=3x^2+\frac{2}{x^2}-3\sin 3x$$; г) $$f'(x)=\frac{x^2+6x}{(x+3)^2}$$.
