Упр.3 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Докажите, что:

а) наименьший (отличный от 1) делитель составного числа $$N$$ не превосходит $$\sqrt{N}$$;

б) число $$N$$ имеет нечётное число делителей тогда и только тогда, когда $$N$$ — точный квадрат.

Пусть $$N$$ — составное число.

Ход решения

а) Обозначим через $$d_1$$ наименьший делитель числа $$N$$, отличный от $$1$$. Тогда существует делитель $$d_2$$ такой, что

$$d_1\cdot d_2=N,$$

и при этом $$d_1\le d_2$$. Если бы было $$d_1>\sqrt{N},$$ то и $$d_2\ge d_1>\sqrt{N},$$ откуда

$$d_1d_2>\sqrt{N}\cdot \sqrt{N}=N,$$

что невозможно. Значит,

$$d_1\le \sqrt{N}.$$

Следовательно, наименьший делитель составного числа $$N$$, отличный от $$1$$, не превосходит $$\sqrt{N}$$.

б) Пусть число $$N$$ имеет нечётное число делителей. Тогда все делители можно разбить на пары $$d$$ и $$\dfrac{N}{d}$$. Обычно такие пары различны, и число делителей получается чётным. Нечётное число делителей возможно только тогда, когда одна из пар совпадает, то есть

$$d=\frac{N}{d}.$$

Отсюда

$$d^2=N,$$

значит, $$N$$ — точный квадрат.

Обратно, если $$N=m^2,$$ то делитель $$m$$ образует пару сам с собой: $$m\cdot m=N$$. Поэтому число делителей у $$N$$ нечётно.

Ответ

а) $$d_1\le \sqrt{N}$$; б) число $$N$$ имеет нечётное число делителей тогда и только тогда, когда $$N$$ — точный квадрат.