Упр.299 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
Для доказательства возрастания функции достаточно показать, что её производная положительна при всех $$x \in \mathbb{R}$$.
$$f(x)=2x-\cos x$$
Найдём производную:
$$f'(x)=2+\sin x.$$
Так как $$-1 \le \sin x \le 1,$$ то
$$1 \le 2+\sin x \le 3.$$
Следовательно, $$f'(x)>0$$ при всех $$x \in \mathbb{R},$$ значит, функция возрастает на $$\mathbb{R}.$$
$$f(x)=x^5+4x$$
Найдём производную:
$$f'(x)=5x^4+4.$$
Так как $$x^4 \ge 0,$$ то $$5x^4+4>0$$ при всех $$x \in \mathbb{R}.$$
Следовательно, функция возрастает на $$\mathbb{R}.$$
$$f(x)=\sin x+\frac{3x}{2}$$
Найдём производную:
$$f'(x)=\cos x+\frac{3}{2}.$$
Так как $$-1 \le \cos x \le 1,$$ то
$$\frac{1}{2} \le \cos x+\frac{3}{2} \le \frac{5}{2}.$$
Значит, $$f'(x)>0$$ при всех $$x \in \mathbb{R},$$ следовательно, функция возрастает на $$\mathbb{R}.$$
$$f(x)=2x^3+x-5$$
Найдём производную:
$$f'(x)=6x^2+1.$$
Так как $$x^2 \ge 0,$$ то $$6x^2+1>0$$ при всех $$x \in \mathbb{R}.$$
Следовательно, функция возрастает на $$\mathbb{R}.$$
Ответ
Во всех пунктах функция возрастает на множестве $$\mathbb{R}.$$
