Упр.298 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Найдём производные и исследуем их знак.

а)

$$f(x)=1+1{,}5x-3x^2-2{,}5x^3$$

$$f'(x)=1{,}5-6x-7{,}5x^2$$

Приравняем производную к нулю:

$$1{,}5-6x-7{,}5x^2=0$$

$$-1{,}5(5x^2+4x-1)=0$$

$$5x^2+4x-1=0$$

$$x=-1,\quad x=0{,}2$$

Знак производной: $$f'(x)>0$$ на $$[-1;0{,}2]$$, а $$f'(x)<0$$ на $$(-\infty;-1]$$ и $$[0{,}2;+\infty)$$.

Ответ: функция возрастает на $$[-1;0{,}2]$$, убывает на $$(-\infty;-1]$$ и $$[0{,}2;+\infty)$$.

б)

$$f(x)=\frac{x^5}{5}-\frac{x^3}{3}-6x+1$$

$$f'(x)=x^4-x^2-6$$

Решим уравнение $$f'(x)=0$$:

$$x^4-x^2-6=0$$

Положим $$t=x^2,\ t\ge 0$$. Тогда

$$t^2-t-6=0$$

$$t_1=-2,\quad t_2=3$$

Так как $$t\ge 0$$, подходит только $$t=3$$, значит

$$x=\pm\sqrt{3}$$

Следовательно, $$f'(x)>0$$ на $$(-\infty;-\sqrt{3}]$$ и $$[\sqrt{3};+\infty)$$, а $$f'(x)<0$$ на $$[-\sqrt{3};\sqrt{3}]$$.

Ответ: функция возрастает на $$(-\infty;-\sqrt{3}]$$ и $$[\sqrt{3};+\infty)$$, убывает на $$[-\sqrt{3};\sqrt{3}]$$.

в)

$$f(x)=\frac{x^4}{4}+8x-5$$

$$f'(x)=x^3+8$$

Приравняем производную к нулю:

$$x^3+8=0$$

$$x^3=-8$$

$$x=-2$$

Так как кубическая функция $$x^3+8$$ возрастает, то $$f'(x)<0$$ при $$x<-2$$ и $$f'(x)>0$$ при $$x>-2$$.

Ответ: функция убывает на $$(-\infty;-2]$$ и возрастает на $$[-2;+\infty)$$.

г)

$$f(x)=x^3-6x^2-15x-2$$

$$f'(x)=3x^2-12x-15$$

Решим уравнение $$f'(x)=0$$:

$$3x^2-12x-15=0$$

$$3(x^2-4x-5)=0$$

$$3(x-5)(x+1)=0$$

$$x=-1,\quad x=5$$

Парабола $$f'(x)$$ ветвями вверх, значит $$f'(x)>0$$ на $$(-\infty;-1]$$ и $$[5;+\infty)$$, а $$f'(x)<0$$ на $$[-1;5]$$.

Ответ: функция возрастает на $$(-\infty;-1]$$ и $$[5;+\infty)$$, убывает на $$[-1;5]$$.